矩阵运算公式大全 矩阵这东西，看着唬人，用起来实际上挺顺手。咱们不搞那些“起初、其次、最终”的教科书式废话，直接上干货，一个点一个点地拆解。 先说说加法，这是最基础也最庸俗的，但也是最好办记混的。加法就是对应位置把两个元素加起来。
比如矩阵 $A$ 和 $B$，加起来 $C=A+B$，$C_{ij}$ 等于 $A_{ij}$ 加 $B_{ij}$。
不管矩阵多大，只要列数一样，就能加。
要是维度不一样，比如一个是 $3 times 4$，一个是 $3 times 3$，那就不能加，到时候得先对边对齐，比如把 $3 times 4$ 的最终一列移到 $3 times 3$ 的后面，要么把 $3 times 3$ 的最终一行补到 $3 times 4$ 下面。
要是维度彻底对不上，比如一个是 $2 times 3$，一个是 $2 times 5$，那加法也就送你了。 再看乘法，这就略微有点意思了。矩阵乘法是个“分配器”兼“转换器”。左边的矩阵要把右边的每一列当成向量去乘，要么直接去乘。公式是 $C=A times B$，$C_{ij}$ 等于第 $i$ 行所有元素乘 $B$ 的第 $j$ 列所有元素的乘积再求和。
这里好办踩坑的是维度，左边矩阵的行数和右边矩阵的列数得匹配，不然没法乘。举个栗子：$A$ 是 $2 times 3$，那是 $2$ 行 $3$ 列；$B$ 是 $3 times 2$，那是 $3$ 行 $2$ 列。
只要行数和列数对得上，$2 times 3$ 乘以 $3 times 2$ 就能拿到一个 $2 times 2$ 的矩阵。算的时候别急着写公式，手里拿着计算器手算两下，把每个交叉位置的乘积加起来，最终加起来再求和，别看慢点但肯定没错。 要是两个矩阵乘法能乘出结局，矩阵乘法还有个特别关键的性质叫“换律”和“结合律”的变种。$AB$ 不等于 $BA$，这是初学者好办搞反的，但 $A times (B times C)$ 等于 $(A times B) times C$，这个就稳了。
这就像搭积木，先搭 $A$，再搭 $B$，最终搭 $C$，跟搭法没关系。 咱们不聊那些超纲的，像转置、逆矩阵之类的，先把地基打牢。转置就是把矩阵“倒过来”，行变列，列变行。转置的公式好办粗暴：$A^T$ 的第 $i$ 行就是原矩阵的第 $i$ 列。有个细节要注意，转置后的矩阵维度会变，$m times n$ 转过来就是 $n times m$。逆矩阵就反了，不是好办的翻个面，那是求转置。逆矩阵得知足 $A times A^{-1} = I$，也就是单位矩阵。 说到单位矩阵，大家都得熟。$n times n$ 的单位矩阵嘛，对角线上全是 $1$，其他位置全是 $0$。
有时候为了省工夫，矩阵变成对角矩阵了，那就不用全算，直接拿出对角线上的数字就行。
这叫“化繁为简”，操作起来快多了。 平方根也是矩阵里挺常见的一种运算。$A^2=AA$，$A^{frac{1}{2}}$ 就是 $sqrt{A}$。求矩阵平方根得小心，出于矩阵没有算术平方根这种绝对概念，它得是方阵的方阵才能谈上实数。平方根运算本身也挺复杂，特别是非对称矩阵，有时候就连得用迭代法，略微有点磨。 行列式是个数论和线性代数的桥梁，但矩阵里没那么好算。行列式就是乘积之和，跟矩阵乘法有点像，$det(AB) = det(A)det(B)$。但要是是求特征值，那就是把矩阵看作一个线性变换，看它能把啥向量变成 $k$ 倍的向量。特征值得是实的，复数要不就特殊情况一般不整，这个要注意。 高斯消元法别看古老，但在解线性方程组里还是主力。先把左上角变成 $1$，下面的元素变成 $0$，一步步往下消，最终看右下角是不是单位元。
要是没办法消成单位元，那这个方程组要么有解要么无解，要么是无穷多解，得用高斯判据判断。 有时候矩阵得有“智能”的，比如求广义逆要么伪逆，这玩意儿得用 Moore-Penrose 公式，略微复杂点，得把矩阵分块，用 $A^+ = V Sigma^+ U^T$ 这种形式来表示。 还有范数、迹这些概念，别看不用具体算，可是提个醒，迹是主对角线元素之和，范数代表矩阵的“大小”，这些是矩阵分析的常用工具。 算的时候，先把数据弄干净利落，别印错符号，别把 $0$ 和 $1$ 搞混，别把小数点算丢。矩阵运算最怕的就是笔误，一个位置错了，整个推导都得重来。 最终总结一下，矩阵这东西，加法是好办的加法，乘法是复杂的乘法，求逆是反过来的过程，行列式是数，特征值是找倍数，高斯消元是解方程，还有各种特殊的逆矩阵和范数。把这些公式记准，遇到做数学题、解工程方程、读数据图表的时候，矩阵就是你的好帮手。
只要不会把维度搞错，不会把运算顺序弄反，就能顺畅搞定。
不用死记硬背整本公式书，读懂了这些逻辑，自己琢磨起来也挺快。赶明儿那些复杂点的应用题，说不定不用看公式就能心算出个大约结局。
