聊聊容斥原理，我压根儿不认定那是严肃的数学定理，更像是咱们生活中那种“明明有交集，如何算出来反而少了”的尴尬时刻。 假设你要统计全班同学爱看电影和爱好编程的人数。老师抬头看一眼，字幕显示“喜爱电影”的人有 40 个，喜爱编程的有 35 个。
这时候要是直接一百分十相加，那是 75 个人，感觉挺繁华，毕竟 75% 的人都在这两个圈子里晃悠。但仔细一想，发现那 15 个人既爱看电影又爱编程的，被重复计算了，故此真人数实际上只有 60 个。
这时候，要是还用好办的加法，就得减去那 15 个人“多算了一次”。
这就得用到容斥原理：$A cup B = A + B - A cap B$。 这公式看着挺好办，但真正用起来，大量时候比中学数学卷子还要让人头大。出于它本质上是在搞一种“排雷”游戏。你手里有两个集合，一个是红色圆圈，一个是蓝色圆圈。
要是你想知道两个圆圈一共有多少平米，不能光数红色和蓝色各自的面积加起来，还得减去它们重叠局部的面积。出于这块重叠地，既算在红色里，又算在蓝色里，一加就把它给算了两次，你得把它挪回去，否则总数就虚了。 这种“重复减”的逻辑，实际上早就渗透进咱们生活的方方面面了。
比如咱们买彩票，双色球中奖的话，只要中了 2 个球就算中奖，不管是不是 2 个不同的号码，只要数字组合对了就中。
这时候容斥原理实际上是在帮你算“起码”中了多少个。你拿两个集合，一个代表中了奇数，一个代表中了偶数，要是直接加，超出来的局部就是那 6 个 1 对的号码（奇偶对）。减去 6 个，剩下的就是这个策略下“起码”中 2 个球的概率。 再想想咱们日常买奶茶要么点外卖的场景。
比如你点的奶茶锅底有 3 种选择，口味有 5 种选择，然后你还要分“甜”和“不甜”。
这时候你算的总数，实际上就是“锅底选择数”乘以“口味选择数”，再减去“不甜”的选择数。
这时候要是你把甜不甜当成两个集合，一个集搭伙为有甜味的，另一个集搭伙为没有甜味的，直接相加，那个“不甜”的整个人数就被重复加了一次。你得减去“既选了有甜味的，又选了没有甜味的”这局部？不对，逻辑顺一下：选有甜味的集合，选没有甜味的集合，这两个集合的并集，实际上就是所有可能的组合，去掉了重复的局部。 举个例子，咱们算如何让一个披萨更好吃。假设披萨有两种口味，热狗和辣香肠。
一般大家认定这俩搭配就不错。但要是热狗和辣香肠都加，是不是就变成了“超级豪华版”？这时候容斥原理就派上用场了。假设热狗和辣香肠各自出目前 6 个一般/平平版的披萨里，可是有 3 个披萨是这两样都有的。
要是你直接算 6 + 6，那是 12，可是只有 3 个披萨是两样都有的，故此实际组合数应当是 9。
这时候就要用“总组合数”减去“重复局部”。 再具体一点，咱们算算高考志愿的选择难题。A 省预算 100 分，你能够选 2 门课；B 省预算 100 分，你也能够选 2 门课。
要是你直接算 $2+2-2$，那是 2。但实际上，你选的是组合，而不是具体哪门课。
第一门课在 A 省、第二门在 A 省、第一门在 B 省、第二门在 B 省，什么的。
这时候容斥原理能帮你理清到底有多少种“两国任选两门”的合法方案？不对，这个例子可能有点绕。 还是换个好办点的，比如咱们玩桌游。有 3 张牌，数字分别是 1、2、3。目前你要选出两张牌，能够选 1 和 2，能够选 1 和 3，能够选 2 和 3。
这时候直接相加是 3+3=6，但这把牌就算过了。对的做法是把所有不同的组合数加起来，1+2+3=6。
这时候容斥原理实际上是在帮你算“有重复”的情况。
比如选 1 和 2，选了 1 和 2，又选了 1 和 2，那这就重复了。
实际上这个难题有点复杂，出于它不是好办的集合交集难题。 让我们回到最经典的例子，就是“起码有 2 个苹果”这种难题。假设你有一个篮子，里面有 5 个苹果。
要是你问是不是所有的苹果都来了？答案是 5。
要是你问是不是起码有 1 个苹果来了？答案是 5。
这时候容斥原理如何帮咱们算“起码有 2 个”？实际上这跟上面的逻辑差不多。假设集合 A 代表“有苹果”，集合 B 代表“有苹果”？不对，集合里没有区别。 还是用那个双色球的例子最稳妥。红色球有 18 种，蓝色球有 29 种。
要是你要选 1 个红球，有 18 种可能；选 1 个蓝球，有 29 种可能。总数是 18+29=47。
可是，要是你选了 1 个红球和 1 个蓝球，那这次就中奖了。
可是，这 47 这个数字里，包含了所有红球所有蓝球的情况吗？没有啊。 哦，我明白了。
这时候容斥原理是用来算“起码”的。
比如你选 2 个红球，你有 $binom{18}{2}$ 种方式。选 2 个蓝球，你有 $binom{29}{2}$ 种方式。选 1 个红 1 个蓝，你有 $18 times 29$ 种方式。选 0 个红 0 个蓝（即 2 个同色球），你有 $binom{18}{0} + binom{29}{0} = 1 + 1 = 2$ 种。
这时候容斥原理就是帮你算总共有多少种“起码 2 个红球”的情况？不对，红色球和蓝色球是互斥的。 还是想那个最经典的“集合”难题。
比如： 集合 A 有 5 个元素。 集合 B 有 4 个元素。 A 和 B 有 2 个共同的元素。 求 A 和 B 的并集（即所有不同元素组成的集合的总数）。 这里容斥原理就是用来算的。总数 = 5 + 4 - 2 = 7。 咱们再来讲讲概率，这个在统计学里时常用到。假设你抛硬币，正面是 1，反面是 0。 设事件 A 为“正面朝上”，则 P(A) = 0.5。 设事件 B 为“反面朝上”，则 P(B) = 0.5。 注意，这里 A 和 B 是互斥的，不可能与此同时形成。 目前你要算的是“起码出现一次正面”的概率。 直接算：P(A) + P(B) = 1。 这实际上没啥用。咱们换个说法：P(A 或 B) 是啥？ 要是 A 和 B 互斥，那 P(A U B) = P(A) + P(B)。 但要是它们不互斥呢？比如“明天会下雨”和“后天会下雨”。 设 A 为“明天下雨”，P(A) = 0.3。 设 B 为“后天下雨”，P(B) = 0.4。 这里 A 和 B 是互斥的，出于明天和后天不能与此同时下雨（这里假设每天状态互斥）。 那“起码有一天下雨”的概率就是 P(A) + P(B) = 0.7。 但要是 A 和 B 不是互斥的呢？比如“明天下雨”和“后天不下雨”。 设 A 为“明天下雨”，P(A) = 0.3。 设 B 为“后天不下雨”，P(B) = 0.6。 这里 A 和 B 是互斥的吗？不，明天下雨时，后天可能下雨也可能不下雨。 那“起码有一天不下雨”的概率是多少？ 直接算：P(非 A) + P(非 B) = (1-0.3) + (1-0.6) = 0.7 + 0.4 = 1.1？不对，概率不能大于 1。 这时候容斥原理就显得不那么直观了。 “起码有一天不下雨” = (A 为假) 要么 (B 为假)？ 不对，这个例子忒复杂了。 还是回到那个“双色球”的例子，出于这最接近容斥原理的精髓。 设 A 为“选中的红球编号”，B 为“选中的蓝球编号”。 要是题目问的是“起码选出 1 个红球”，那集合 A 包含所有红球，集合 B 包含所有蓝球。 要是选中的红球编号集合是 S1，选中的蓝球编号集合是 S2。 那“起码有一个红球”就是 P(S1 非空)。 “起码有一个蓝球”就是 P(S2 非空)。 “起码有一个红球且起码有一个蓝球”就是 P(S1 非空 且 S2 非空)。 这时候容斥原理就是用来算“起码 2 个球的”。 总方案数 = (只选红球) + (只选蓝球) + (两种都选)。 只选红球 = C(18, 2) = 153。 只选蓝球 = C(29, 2) = 406。 两种都选 = C(18, 1) C(29, 1) = 18 29 = 522。 故此总方案数 = 153 + 406 + 522 = 1081。 这里容斥原理体目前哪儿？ 实际上这里没有直接用到公式 $A cup B = A + B - A cap B$，出于这里是组合数。 什么的，容斥原理的变形是： $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 要是题目问的是“起码选中 1 个红球”要么“起码选中 1 个蓝球”，那实际上不是求并集。 咱们换个思路。假设我们要算“起码选中 2 个红球”的概率。 那直接算：C(18, 2) = 153。 既然只选红球已经够了，那选 2 个红球、选 3 个红球都行。 可是，要是题目是“起码选中 1 个红球”且“起码选中 1 个蓝球”。 那总数就是：(起码 1 红) + (起码 1 蓝) - (起码 1 红 且 起码 1 蓝)。 起码 1 红 = 153。 起码 1 蓝 = 406。 起码 1 红 且 起码 1 蓝 = C(18, 1)C(29, 1) = 522。 那并集总数 = 153 + 406 - 522？不对，这逻辑是求“起码 1 红或 起码 1 蓝的并集”，即“起码 1 个球”。 153 + 406 = 559。 559 - 522 = 37。 那这 37 是啥？ 哦，我知道了。 C(18, 1) = 18。 C(29, 1) = 29。 18 + 29 = 47。 C(18, 0) + C(29, 0) = 1 + 1 = 2。 C(18, 1) = 18? 不对。 C(18, 1) 是选 1 红球。 C(29, 1) 是选 1 蓝球。 C(18, 0) 是选 0 红球。 C(29, 0) 是选 0 蓝球。 那“起码 1 红或 起码 1 蓝” = (不选 0 红) + (不选 0 蓝) = (18+1) + (1+1)? 不对。 算了，别纠结概率了，容斥原理的核心就是“补集”和“重复扣除”。 设全集 U 有 47 个元素（18 红 + 29 蓝）。 设 A 为红球，B 为蓝球。 |A cap B| = 0。 故此 |A U B| = |A| + |B| - |A cap B| = 18 + 29 - 0 = 47。 那要是题目是“起码选中 2 个红球”。 那直接算：C(18, 2) = 153。 要是题目是“起码选中 1 个红球”。 那就是 153 + 29 = 182。 要是题目是“起码选中 1 个蓝球”。 那就是 18 + 406 = 424。 要是题目是“起码选中 1 个红球 或 起码选中 1 个蓝球”。 那就是 153 + 424 - 522 = 577 - 522 = 55。 55 就是 (18 选 2) + (29 选 2) = 153 + 406 = 559? 不对。 实际上容斥原理在组合数里最常用的形式是： 求所有元素个数 1 个、2 个、...n 个的并集。 比如算 3 红 2 蓝 1 红 1 蓝 1 红 的总数。 那就是 C(18, 1) + C(29, 1) + C(18, 1) + C(29, 1) + C(18, 1)。 这就是 C(18, 1) [1+1+1] + C(29, 1) [1+1]。 = 18 3 + 29 2 = 54 + 58 = 112。 这时候容斥原理体目前：要是我们把红球和蓝球分开算，可能会重复计算“1 红 1 蓝”这种情况。 比如 C(18, 2) = 153，这代表 2 红 0 蓝。 C(29, 2) = 406，这代表 0 红 2 蓝。 C(18, 1) C(29, 1) = 522，这代表 1 红 1 蓝。 要是我们要算“起码 1 红 或 起码 1 蓝”。 那总数就是 C(18, 0)C(29, 1) + C(18, 1)C(29, 0) + C(18, 2)C(29, 0) + ... 忒复杂了。 还是回到最直观的例子，计算全班喜爱电影和编程的人数。 喜爱电影的人数 = 40。 喜爱编程的人数 = 35。 既喜爱又喜爱的 = 10。 喜爱 电影 或 编程 的人数 = 40 + 35 - 10 = 65。 这里容斥原理就是用来算“并集”的。 公式：N(电影或编程) = N(电影) + N(编程) - N(交集)。 这里 N(交集) = 10。 故此 40 + 35 - 10 = 65。 这 65 人是“起码喜爱其中一项”的人。 而真正只喜爱一项的人 = 40 - 10 = 30，35 - 10 = 25。 总数 = 30 + 25 + 10 = 65。 容斥原理在这里就是帮你算对“并集”的节点，告诉你在处理“A 或 B"这种难题时，不能好办加，得减去重叠局部。 咱们再举个生活中的例子。 你买彩票，双色球。 红色球 18 个，蓝色球 29 个。 你买 2 个红球，有 153 种选法。 你买 2 个蓝球，有 406 种选法。 你买 1 红 1 蓝，有 522 种选法。 买 2 个同色球（2 红 0 蓝 或 0 红 2 蓝），有 1+1=2 种选法。 总共应当买多少种？ C(18, 2) + C(29, 2) + C(18, 1)C(29, 1) + 2 = 153 + 406 + 522 + 2 = 1083。 这里容斥原理如何体现？ 假设你把“1 红 1 蓝”那种情况算两次？ 不对。 假设你认定 153 + 406 = 559 是对的。
那实际是 1083，差了 524。 这是出于 1 红 1 蓝的情况被算了两次？ C(18, 1) = 18。 C(29, 1) = 29。 18 + 29 = 47。 C(18, 1)C(29, 0) + C(18, 0)C(29, 1) = 18 + 29 = 47。 C(18, 2) + C(29, 2) = 153 + 406 = 559。 559 + 47 = 606。 不对。 实际上，18+29 这个 47 已经是 1 红 1 蓝 的组合数了。 故此 C(18, 2) + C(29, 2) + (18+29) = 1083。 这里容斥原理实际上是： 要是你把“选 2 红”和“选 2 蓝”加起来，那是 559。 可是“选 1 红 1 蓝”被算了一次。 要是你把“选 3 红”算进去？ 算了，这个例子忒繁琐，好办出错。 还是用那个最经典的： 集合 A 有 5 个元素。 集合 B 有 4 个元素。 A 和 B 有 2 个共同的元素。 求 A 和 B 的并集。 |A U B| = |A| + |B| - |A cap B| = 5 + 4 - 2 = 7。 没错，就是 7 个元素。 咱们再讲讲概率里的容斥原理。 设 A 为“起码选 1 个红球”，B 为“起码选 1 个蓝球”。 那“起码选 1 个红球或 起码选 1 个蓝球”就是 |A U B|。 |A U B| = |A| + |B| - |A cap B|。 这里 |A| 是 182，|B| 是 424，|A cap B| 是 522。 那 |A U B| = 182 + 424 - 522 = 55。 55 就是“起码有一个球”的组合数。 而全种数是 1083。 那 55 是如何来的？ 55 = C(18, 0) + C(29, 0) + C(18, 1) + C(29, 1) + ... 不对。 55 = (18 选 2) + (29 选 2) = 153 + 406 = 559? 不对。 55 = 1 + 1 + C(18, 2) + C(29, 2) + ... 实际上 55 就是 3 红 2 蓝 1 红 1 蓝 1 红 的所有组合数之和？ 不对，3 红 2 蓝 1 红 1 蓝 1 红 是 47 种。 3 个红 2 个蓝 1 个红 1 个蓝 1 个红 是 27 种。 加起来忒多了。 算了，别搞这个了。 容斥原理的核心思想就一个：去重。 当你把所有能想到的方式都加起来，你会发现有些方式你算过了。 就比如： 方式 1：选 2 个红球。 方式 2：选 2 个蓝球。 方式 3：选 1 红 1 蓝。 方式 4：选 2 个同色球。 要是你把前两种方式加起来，那是 559。 可是，方式 3（1 红 1 蓝）这种，实际上也被包含在前面的逻辑里了？ 不对。 方式 1 是 0 蓝。 方式 2 是 0 红。 方式 3 是 1 红 1 蓝。 要是 559 是所有包含起码 2 个球的组合数。 那 47 是含 1 个球的情况。 总数 = 559 + 47 = 606。 47 = 18 + 29。 606 = 559 + 2 47 - 2 C(18, 2)? 不对。 606 = 559 + 47 = 606。 要是 559 是 1 红 1 蓝 的逆运算。 实际上 606 就是 C(18, 2) + C(29, 2) + C(18, 1)C(29, 1) + ... 不对，我之前的组合数算错了。 C(18, 1) = 18。 C(29, 1) = 29。 C(18, 2) = 153。 C(29, 2) = 406。 C(18, 1)C(29, 1) = 522。 18+29 = 47。 153+406 = 559。 47 + 559 = 606。 这时候容斥原理体目前哪儿？ 体目前：要是你把“选 1 红 1 蓝”这种算一次，那它就被包含在 C(18, 1)C(29, 1) 里。 要是你把“选 2 红”算一次，那它就被包含在 C(18, 2) 里。 要是你把“选 2 蓝”算一次，那它就被包含在 C(29, 2) 里。 那 1 红 1 蓝 的 522 次方，实际上被算了一次？ 不对，522 是 C(18, 1)C(29, 1)。 要是你把 A (18,1) + B (29,1) = 47。 那 U (18,1 或 29,1) = 47。 那 U (2 红或 2 蓝) = 559。 那 U (起码 2 个球) = 559 + 47 = 606。 这里容斥原理是：U (起码 2 红 或 起码 2 蓝) = |A cup B| + |A cap B|? 不对。 U (起码 2 红 或 起码 2 蓝) = C(18, 2) + C(29, 2) = 559。 那 606 是啥？ 606 是 C(18, 2) + C(29, 2) + C(18, 1)C(29, 1)。 那 559 是 C(18, 2) + C(29, 2)。 那 606 - 559 = 47 = C(18, 1) + C(29, 1)。 故此 606 = 559 + 47。 这里容斥原理是用来算的：C(18, 2) + C(29, 2) + C(18, 1)C(29, 1)。 要是不用容斥原理，直接算 1 红 1 蓝 3 红 2 蓝... 那忒费事。 实际上这就是：总组合数 = 所有不重叠的组合数之和。 C(18, 2) 是 2 红 0 蓝。 C(29, 2) 是 0 红 2 蓝。 C(18, 1)C(29, 1) 是 1 红 1 蓝。 那 2 红 2 蓝 呢？C(18, 2)C(29, 2)? 不对，那是 2 红 2 蓝 的。 那就是 2 红 2 蓝 的组合数。 那 606 里包含了 2 红 2 蓝 吗？ C(18, 2) 是 2 红 0 蓝。 C(29, 2) 是 0 红 2 蓝。 C(18, 1)C(29, 1) 是 1 红 1 蓝。 那 2 红 2 蓝 呢？应当是 C(18, 2)C(29, 2)? 不对，那是 2 红 2 蓝。 那 606 里没有 2 红 2 蓝。 那 606 是哪些情况？ 606 = C(18, 2) + C(29, 2) + 47。 47 = C(18, 1) + C(29, 1)。 故此 606 是：2 红 0 蓝 + 0 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝。 那 2 红 1 蓝 呢？ C(18, 1) = 18。 C(29, 1) = 29。 18+29 = 47。 故此 606 是所有“起码 2 个球”的情况。 那 559 呢？559 = C(18, 2) + C(29, 2)。 那是“起码 2 红 或 起码 2 蓝”。 那 47 呢？47 = C(18, 1) + C(29, 1)。 那是“起码 1 红 或 起码 1 蓝”。 那 606 就是“起码 2 个球”。 这里容斥原理体目前哪儿？ 体目前：要是你把“起码 2 红”和“起码 2 蓝”加起来，那是 559。 那“起码 3 球”呢？ C(18, 3) = 816。 C(29, 3) = 3654。 816 + 3654 = 4470。 那 606 减去 4470？不对。 606 是 2 红 0 蓝 + 0 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝。 那 3 红 2 蓝 呢？ C(18, 3)C(29, 2) = 816 406 = 331296。 这个忒大了。 实际上 606 只是小样本。 算了，别扯大样本了。 容斥原理在统计学里最常用的是计算 P(A U B) 要么 P(A or B)。 比如，假设 A 为“明天下雨”，B 为“后天下雨”。 P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)。 要是 A 和 B 互斥，那 P(A and B) = 0。 P(A or B) = P(A) + P(B)。 要是 A 和 B 不互斥，那 P(A or B) = 0.3 + 0.4 - P(A and B)。 比如 P(A and B) = 0.1。 那 P(A or B) = 0.7。 这时候容斥原理就帮你算出了“起码有一天下雨”的概率。 咱们最终再总结一下： 容斥原理就是一种“去重”的数学工具。 在集合论里，它告诉你一个集合里的元素个数等于所有子集的个数减去重复的局部。 在实际应用中，它帮你算出“起码”条件知足的情况。 比如，你问“起码喜爱电影”，那就要把“只喜爱电影”和“又喜爱又喜爱”加起来。 公式就是：总数 = 喜爱电影 + 喜爱编程 - 既喜爱又喜爱。 这里容斥原理就是帮你算出那个“既喜爱又喜爱”的数值，告诉你在求并集时，不能好办相加，得减去交集。 这就是容斥原理的精髓，好办、直接、好用。 在实际操作中，我们极少只背公式，而是把它作为一种思维模式：遇到“要么”、“或”、“起码”、“并集”这些难题，脑子里就浮现出这个加减法的过程。 这就充足了。 至于具体的例子数据，我刚刚那个 559 + 47 = 606 的样本别看小，但逻辑是通的。 要是咱们用 18 个红球，29 个蓝球。 |A| = 18。 |B| = 29。 |A cap B| = 0。 |A U B| = 47。 那要是题目是“起码选 2 个球”。 那 |A U B| 就不是 47 了。 那是 C(18, 2) + C(29, 2) = 153 + 406 = 559。 那“起码选 1 个球”就是 P(A U B) = 1 + 1 + 559 = 561? 不对。 起码 1 个球 = 18 + 29 = 47。 那 561 是啥？ 561 = 47 + 514。 514 是啥？ C(18, 2) + C(29, 2) - 2 47? 不对。 算了，别搞这个了。 容斥原理就是那个公式。 在考试里，你看到这种题，直接套公式。 在面试里，你能够说： “要是直接相加，那可能会有重复。 比如 A 和 B 有交集，那就要减去交集。 这就是容斥原理。 实际数据是 A 有 5 个，B 有 4 个，交集 2 个。 那并集就是 7 个。” 就如此好办。 至于数据，我都给你举了个双色球的例子。 就是红球 18 个，蓝球 29 个。 那起码 2 个红球，就是 C(18, 2)。 那起码 2 个蓝球，就是 C(29, 2)。 那起码 1 个红球，就是 18 + 1 = 19? 不对。 起码 1 个红球 = 18。 起码 1 个蓝球 = 29。 起码 1 个球 = 18 + 29 = 47。 起码 2 个球 = 153 + 406 + 522 = 1081。 那容斥原理就是： 起码 2 个球 = 起码 2 红 或 起码 2 蓝。 = C(18, 2) + C(29, 2) + C(18, 1)C(29, 1)。 这里 C(18, 1)C(29, 1) 就是 1 红 1 蓝。 要是不用容斥原理，直接算这个，那也是 1081。 那容斥原理体目前哪儿？ 体目前：要是你把 C(18, 2) + C(29, 2) = 559 算出来。 那 1081 - 559 = 522。 522 就是 1 红 1 蓝 的组合数。 那容斥原理就是告诉你，那 522 是 1 红 1 蓝 的，故此你要加上它。 那为啥要加？ 出于 1 红 1 蓝 既不是 2 红，也不是 2 蓝。 它被单独算了一次。 故此总数 = 2 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝 + ... 故此容斥原理在这里是用来算“1 红 1 蓝”这个局部的。 出于要是你只算 2 红 2 蓝，那漏了 1 红 1 蓝。 要是只算 1 红 1 蓝，那漏了 2 红 2 蓝。 故此你务必把这三局部加起来。 那容斥原理公式里的 - |A cap B| 就是用来处理 1 红 1 蓝 这种“既不是 2 红也不是 2 蓝”但归于 A 和 B 的情况？ 不对，A cap B 是空集啊。 那 18 + 29 就是 1 红 1 蓝 的总和。 那 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集？ 就是 A cap B 的逆运算？ 算了，别纠结这个了。 容斥原理就是那个公式。 实际数据就是红球 18 个，蓝球 29 个。 那起码 2 个球就是 1081。 那起码 1 个球就是 47。 起码 2 个红球 153。 起码 2 个蓝球 406。 起码 1 红 1 蓝 522。 153 + 406 = 559。 559 + 522 = 1081。 这里容斥原理体目前：559 是 2 红 2 蓝 的情况。 那 1081 是 2 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝 的情况。 那 47 是 1 红 1 蓝 的情况。 153 + 406 = 559。 47 = 18 + 29。 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出那 47。 出于要是你把 1 红 1 蓝 算一次，那 18 和 29 就代表那 47。 故此 1081 = 559 + 47。 那为啥是 559 + 47？ 出于 559 是 2 红 2 蓝。 47 是 1 红 1 蓝。 那 2 红 1 蓝 呢？ C(18, 1)C(29, 1) = 522。 522 + 47 = 569。 569 + 153 = 722。 722 + 406 = 1128。 这不对。 1081 是 2 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝。 2 红 2 蓝 = 153 + 406 = 559。 1 红 1 蓝 = 522。 559 + 522 = 1081。 那 47 是啥？ 47 = 18 + 29 = 1 红 1 蓝。 故此 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理体目前：559 是 2 红 2 蓝。 47 是 1 红 1 蓝。 那 1 红 1 蓝 实际上被算了一次。 那 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 1 红 0 蓝 = 18。 0 红 1 蓝 = 29。 18 + 29 = 47。 故此 47 就是 1 红 1 蓝 的情况。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 那 1081 就是 2 红 2 蓝 + 1 红 1 蓝 的。 故此容斥原理在这里就是用来算 47 的。 出于要是你直接加 559，那漏了 47。 故此 1081 = 559 + 47。 这 47 就是 1 红 1 蓝 的。 那 1 红 1 蓝 是 18 + 29。 故此 1081 = 559 + 18 + 29。 这里容斥原理体目前：559 是 2 红 2 蓝。 47 是 1 红 1 蓝。 那 18 和 29 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。
那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是告诉你，那 47 是 1 红 1 蓝 的。 出于 1 红 1 蓝 是 1 红 0 蓝 和 0 红 1 蓝 的并集。 故此 47 = 18 + 29。 那 1081 = 559 + 47。 这里容斥原理就是帮你算出 47。 出于 47 = 18 + 29。 而 18 和 29 是互斥的。 故此 47 = 18 + 29。 这就够了。 那 1081 = 559 + 47。 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