导数求导公式复制-导数求导公式

算导数就是个费事儿，特别是那些常数函数要么常数倍函数，老毛病一马平川，直接把那个系数丢回去就行。
比如 $f(x) = 3x$，你不用去搞啥链式法则要么换元，直接把 3 提出来，$x$ 还在原位，结局是 $3x$。再比如 $f(x) = 7x^2$，平方不动，系数 7 去前面，指数六下来，直接 $14x$，这操作简直像给这个函数贴个标签。 指数函数也是特供品，底数不变，指数整体乘下来。
像 $y = e^{x}$ 这种，$e$ 是个特殊的常数，它自己的导数还是 $e^{x}$，恒成立，哪怕 $x$ 是 $100$ 次方要么 $-0.001$ 都懒得算，直接原样输出。幂函数 $x^n$ 略微有点费劲，除了 $n=0$ 要么 $n=1$，需求用乘法法则拉出来，底数变指数，指数乘下来。
比如 $y = x^2$，对 $x$ 求导就是 $2x$。
要是 $x^3$ 呢？底数还是 $x$，指数 3 乘下来变成 6，结局是 $3x^2$。 对数函数？这玩意儿简直就是数学界的“反直觉”集合，求导赶明儿还得加个负号。
比如 $ln x$，它的导数就是 $frac{1}{x}$。
为啥？出于指数函数的导数自带负号，这是为了平衡对数函数的增长速度。$y = ln a^x$ 这种，先把 $a^x$ 当成整体求导，拿到 $a^x ln a$，再乘进去，凑成 $a^{ln a cdot x}$ 这种形式，别看看着怪怪的，但也是对的。再比如 $ln(5^x)$，底数是 5，指数是 $x$，对 $x$ 求导时，指数乘下来是 $5^x ln 5$，再乘进去，拿到 $5^x ln 5 cdot ln a$，结局就是 $ln a cdot 5^x ln 5$。 绝对值函数 $|x|$ 是个老手，分段聊聊是它唯一的解法。当 $x$ 大于 0 时，去掉绝对值符号，变成 $x$，导数就是 1。当 $x$ 小于 0 时，变成 $-x$，导数就是 -1。在 $x=0$ 这个尴尬点上导数不存有，这就是个尖点了，左右两边的切线斜率分别是 1 和 -1，根本没法画一条平滑的线过那里。 三角函数的求导更是个玄学，得靠微积分的“特殊公式”来保命。$sin x$ 的导数是 $cos x$，$cos x$ 的导数是 $-sin x$，这两者互逆变换。$tan x$ 呢？它是 $sin x$ 除以 $cos x$，这得用除法法则，分子分母分别求导，分子是 $cos x$，分母是 $-sin x$，故此结局是 $frac{cos x}{-sin x} = -frac{cos x}{sin x} = -cot x$。
要么用商法则来算也一样，结局都是 $-cot x$。$sec x$ 和 $csc x$ 略微复杂点，涉及平方和根号，公式得背熟，别硬算，直接套公式。 最终还得提一下复合函数，链式法则一辈子是核心。
比如 $(x^2 + 1)^3$，外层是三次方，内层是 $x^2+1$。三次方的导数是 $3$ 次方，内层的导数是 $2x$，两个乘起来就是 $3(x^2+1)^2 cdot 2x$。再比如 $sin(3x)$，外层正弦，内层是 $3x$，正弦导数是 $cos x$，内层导数是 3，结局就是 $3cos(3x)$。 实际上啊，导数这东西，本质就是看函数增长得有多快。斜率就是瞬时速度，坐标变化率就是瞬时变化率。常数函数速度恒定，指数函数速度越来越快，对数函数速度越来越慢，绝对值函数在折返点有个怪的突变，三角函数则是在正弦和余弦之间交替跑。间或也会遇到像 $f(x) = sin^2 x$ 这种，直接对 $sin x$ 求导再乘上线就是 $2sin x cos x$，要么用 $1 - cos 2x$ 代换，结局是一样的。 有时候看着有点乱，认定步步为营好办晕，但实际做一遍就会发现，只要记住几个口诀和几个核心公式，大局部情况都能顺滑那会儿。
不需求每次都从零启动推导，直接拿公式抄，效率最高。
哪怕中间几个步骤卡住了，换个思路要么换个变量凑一凑，总能找到突破口。
这哪是啥高深的数学，这就好比种菜，别看得浇水施肥，但只要记住了种啥长得快，如何施肥，日子过得就没那么难。