凑一凑，再凑一凑，最终再凑一凑 想算 $S_n = sum_{k=1}^n k^3$ 等于啥，起初别急着掏出 $n^2(n+1)^2/4$ 那张脸谱书。人类的脑袋不是那种按部就班的机器，它是靠直觉和“瞎蒙”里找规律的大块头。我们先把 $n=1$ 和 $n=2$ 摆上台面，试着用好办的算术去碰一碰那些数字。 当 $n=1$ 时，只有一个 $1^3 = 1$。 当 $n=2$ 时，是 $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$。 当 $n=3$ 时，再加 $3^3=27$，凑起来就是 $36$。 这时候你心里可能已经隐隐约约认定跟 $(1+2)^3 = 27$ 要么某个平方数相关了，但别急，目前的直觉忒粗糙了，全是拍脑袋的结局。 咱们换个思路，不直接倒推，而是试着把一堆一堆的大数“搬”到一边去。
看看 $n^3$ 能不能拆成更好办认的加减法。你肯定见过这个拆法：$k^3 = k times k times k$。
那就用力掰扯它，把 $k$ 拆出来，$k$ 再拆成 $1 dots$。 比如 $n=3$ 的时候，我们写一下表达式：$1^3 + 2^3 + 3^3$。 $1$ 这一块挺好办，就是 $1$。 $2$ 这一块，$2$ 能够拆成 $1+1$。 $3$ 这一块，$3$ 能够拆成 $2+1$。 把这三块拼起来： $$1^3 + (1+1)^3 + (2+1)^3$$ 这就把式子搞复杂了。
这时候睁开眼看看，$(k+1)^3$ 展开后全是 $k^2, k^3$ 之类的高次项，这玩意儿如何加除？全得死记硬背要么疯狂拆开。咱们得换个更“暴力”但智慧的办法。 试试把 $k$ 写成 $1 + (k-1)$。 当 $k=1$ 时，$k-1=0$。 当 $k=2$ 时，$k-1=1$。 当 $k=3$ 时，$k-1=2$。 咱们把原式里的 $k$ 全换成 $(k-1) + 1$。 $$S_n = sum k^3 = sum [(k-1)+1]^3$$ 展开右边： $$= sum [(k-1)^3 + 3(k-1)^2(1) + 3(k-1)(1)^2 + 1^3]$$ 这一大坨展开式里头，$1^3$ 这一项就是 $n$，后面那些全是 $(k-1)$ 的幂次。 $3(k-1)^2$ 这一项取个 $3$，后面跟一个平方和公式：$3 times frac{(k-1)(k-1+1)}{2} = 3 times frac{(k-1)k}{2}$。 $3(k-1)$ 这一项也取个 $3$，后面跟一个立方和（出于平方和再乘一个 $k$）：$3 times frac{(k-1)^2(k)}{2}$。 $1^3$ 这一项就是 $n$。 目前咱们把所有带 $(k-1)$ 的项加起来。 第一项是 $sum (k-1)^3$，这是 $(0)^3 + (1)^3 + dots + (n-1)^3$，也就是前 $n$ 个自然数的立方和，记为 $S_{n-1}$。 第二项是 $sum 3(k-1)k$，取个 $3$，括号里是 $k(k-1)$。
这一式子展开后，$k^2(k-1) = k^3 - k^2$。
故此这一项的和就是 $3 times (sum k^3 - sum k^2)$。 第三项是 $sum 3(k-1)^2 k$，取个 $3$，括号里是 $(k-1)^2 k = (k^2 - 2k + 1)k = k^3 - 2k^2 + k$。
这一式子展开后，$3 times (sum k^3 - 2sum k^2 + sum k)$。 目前把所有含 $S_n$ 的项都聚拢到左边去： $$S_n = S_{n-1} + 3S_n - 3sum k^2 + 3S_n - 6sum k^2 + 3sum k + n$$ $$S_n = S_{n-1} + 6S_n - 9sum k^2 + 3sum k + n$$ 移项整理： $$-5S_n = S_{n-1} - 9sum k^2 + 3sum k + n$$ $$5S_n = 9sum k^2 - 3sum k - n$$ $$S_n = frac{9}{5}sum k^2 - frac{3}{5}sum k - frac{n}{5}$$ 这结局看着还是有点怪（分数忒多），并且这一步走得忒绕了，彻底是为了凑出 $S_n$ 而设计的“死循环”。咱们得换个路标，直接从 $S_{n-1}$ 出发，看看它和 $S_n$ 之间到底藏着啥“魔法”关系。 既然 $n$ 是自然数，那 $n$ 要么是 $0$，要么是 $1, 2, 3 dots$。 假设 $n ge 1$。 寻思 $S_n - S_{n-1}$。 $S_n - S_{n-1} = n^3$。
这是个废话，本来就知道。 这就卡住了，我们要从 $S_{n-1}$ 推导 $S_n$。 让我们用具体的数据点来验证一下规律是否成立。 $S_0 = 0$。 $S_1 = 1^3 = 1$。 $S_2 = 1^3 + 2^3 = 9$。 $S_3 = 36$。 $S_4 = 36 + 4^3 = 36 + 64 = 100$。 $S_5 = 100 + 5^3 = 100 + 125 = 225$。 我们再看看这些数字跟 $n$ 的平方、立方有啥关系。 $1 = 1^2$ $9 = 3^2$ $36 = 6^2$ $100 = 10^2$ $225 = 15^2$ 哎？下面的数字是 $1, 3, 6, 10, 15$。
哇，这就是自然数前 $n$ 个数的和！ $1 = 1$ $1+2 = 3$ $3+3 = 6$ $6+4 = 10$ $10+5 = 15$ 忒惊人了！ 故此，$S_n = n^2 times (frac{n(n+1)}{2}) = frac{n^3(n+1)}{2}$。 哇，成立！ 那如何从已知出发去推导这个结论呢？ 假设前 $n-1$ 项的和是 $S_{n-1} = (n-1)^2 times frac{(n-1)n}{2}$。 我们要算 $S_n - S_{n-1}$。 $$S_n - S_{n-1} = n^3$$ 也就是： $$n^3 = frac{n^2(n+1)}{2} - frac{(n-1)n(n-1)}{2}$$ 两边同乘 $2$： $$2n^3 = n^2(n+1) - n(n-1)(n-1)$$ 展开右边： $$2n^3 = n^3 + n^2 - [n(n^2 - 2n + 1)]$$ $$2n^3 = n^3 + n^2 - n^3 + 2n^2 - n$$ $$2n^3 = n^2 + 2n^2 - n$$ $$2n^3 = 3n^2 - n$$ $$2n^3 - 3n^2 + n = 0$$ $$n(2n^2 - 3n + 1) = 0$$ 两边除以 $(n-1)$： $n(2n-1)(n-1) = 0$ $$2n^2 - 2n - n + 1 = 0 implies 2n^2 - 3n + 1 = 0$$ $(2n-1)(n-1) = 0$。 这意味着 $n=1$ 要么 $n=1/2$。 当 $n=1$ 时，$1(2-1)(0)=0$，成立。 当 $n ge 2$ 时，这个方程显然不成立。 这里有个庞大的漏洞。我的推导逻辑是：要是假设 $S_k = k^2 frac{k(k+1)}{2}$ 对于 $k
不对。 $(55^2 - 45^2) = 121^2$? 不对。 $55^2 - 45^2 = (55-45)(55+45) = 10 times 100 = 1000$。 对！ $55^2 - 45^2 = 10 times 100 = 1000$。 而 $1000 = 10^3$。 故此 $S_{10} - S_9 = 10^3$。 而 $55^2 - 45^2 = 10 times 100 = 1000$。 这里 $10$ 和 $100$ 的来源是啥？ $55 = frac{10 times 11}{2} = S_{10}$。 $45 = frac{9 times 10}{2} = S_9$。 故此 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = (S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1})$。 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 故此 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (2S_n - n^3)$? 不对。 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 左边 $= S_n^2 - S_{n-1}^2$。 右边 $= n^3 (S_n + S_{n-1})$。 对于 $n=10$: $S_{10} = 3025$。 $S_9 = 2025$。 $S_{10}^2 - S_9^2 = 3025^2 - 2025^2 = 9150625 - 4100625 = 5050000$。 右边 $= 1000 times (3025 + 2025) = 1000 times 5050 = 5050000$。 彻底吻合！ 故此，$S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 这仿佛是个新的恒等式，但我们已经知道 $S_n = S_{n-1} + n^3$。 故此 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$ 就是 $(S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1}) = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 这自然成立。 也就是说，从 $S_{n-1}$ 到 $S_n$ 的跳跃，正好等于 $n^3$，而这个跳跃量，又通过平方差公式，反推出了 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 的平方关系。 这是一种“循环论证”，但数学上的循环论证往往是通向真理的捷径。 既然 $n^3$ 等于 $S_n - S_{n-1}$，而 $S_n$ 的平方减去 $S_{n-1}$ 的平方也等于 $n^3$ 乘以 $(S_n + S_{n-1})$。 这说明 $S_n$ 的平方序列和 $S_{n-1}$ 的平方序列，之间的空隙，正好被一层层的 $n^3$ 填满。 当 $n=10$ 时，空隙是 $1000$，刚好是一个立方体的体积。 当 $n=4$ 时，$S_4 = 100, S_3 = 36$。 $S_4^2 - S_3^2 = 100^2 - 36^2 = 10000 - 1296 = 8704$。 右边 $= 4^3 times (100 + 36) = 64 times 136 = 8704$。 也对。 故此，立方和公式 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$ 的推导，本质上就是看这个序列“平方差”的规律。 它告诉我们，每一次加 $n^3$，都是在给整个“平方和”这个曲面打上一道新的“补丁”。 那道补丁的大小就是 $n^3$，而补丁的边缘延伸了 $n$ 的长度，高度也延伸了 $n+1$。 最终，这块补丁加上去后，整个曲面的面积，正好等于 $(n+1)$ 倍的那个“缩放版”平方和，再除以 $4$？ 不，是等于 $n times (n+1) times n times n / 4$ 吗？ $n^2 (n+1)^2 / 4 = n^2 / 4 times (n+1)^2$。 $n=1$: $1/4 times 4 = 1$。 $n=2$: $1/4 times 9 = 2.25$? 不对，$S_2=9$。 哦，公式里没除 4 吗？有！ $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 $n=1$: $1 times 4 / 4 = 1$。 $n=2$: $4 times 9 / 4 = 9$。 $n=3$: $9 times 16 / 4 = 36$。 $n=4$: $16 times 25 / 4 = 100$。 $n=10$: $100 times 121 / 4 = 25 times 121 = 3025$。 故此，$S_n$ 的值，确实是 $frac{n^2}{4} (n+1)^2$。 这意味着 $S_n$ 本身就是一个彻底平方数（要么接近彻底平方数的整数平方）。 $1 = 1^2$ $9 = 3^2$ $36 = 6^2$ $100 = 10^2$ $2025 = 45^2$ $3025 = 55^2$ 规律极度清楚：$S_n$ 一辈子是某个整数的平方。 并且这个整数序列是 $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 dots$ 这就是数列 $A_n = frac{n(n+1)}{2}$，即前 $n$ 个自然数的和。 $S_n = A_n^2$。 这就是最终的结论。 不需求微积分，不需求复杂的代数，只需求看到 $1^3+2^3+3^3=6^3$ 这个事实，然后推广到 $n$ 项。 $1^3+2^3+3^3 = 1^2 times (1+2+3)^2 = 1^2 times 6^2 = 36$。 $1^3+2^3+dots+n^3 = left( frac{n(n+1)}{2} right)^2$。 这就解释了为啥 $n=10$ 时，$10^3$ 能填补 $S_9$ 和 $S_{10}$ 之间的空隙。 $S_{10} - S_9 = 1000 = 10^3$。 而 $S_{10} = 55^2$。 $S_9 = 45^2$。 $55^2 - 45^2 = 10 times 100 = 1000$。 完美。 这就是所有数学家的终极默契： $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$。 这里 $A = frac{n(n+1)}{2}$。 $B = frac{n(n-1)}{2}$。 $A - B = n$。 $A + B = n^2$。 故此 $A^2 - B^2 = n cdot n^2 = n^3$。 而 $A^2 - B^2$ 正是 $S_n - S_{n-1}$。 故此 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 既然 $S_n = S_{n-1} + n^3$，且 $S_{n-1} = A_{n-1}^2$。 那么 $S_n = A_{n-1}^2 + n^3$。 代入 $n^3 = A_n - A_{n-1}$? 不对，$A_n - A_{n-1} = n$。 代入 $A_n^2 - A_{n-1}^2 = n^3$。 $S_n = A_{n-1}^2 + (A_n^2 - A_{n-1}^2) = A_n^2$。 这就通了！ $S_n$ 就是 $A_n$ 的平方，其中 $A_n$ 是前 $n$ 项和后一项（$S_n$ 是第 $n$ 项，$S_{n-1}$ 是前 $n-1$ 项）的某种组合？ 不，是 $S_n$ 等于 $A_n$ 的平方，而 $A_n$ 又等于 $A_{n-1} + n$。 故此 $S_n$ 等于 $(A_{n-1} + n)^2$。 又出于 $S_n = S_{n-1} + n^3 = A_{n-1}^2 + (A_n^2 - A_{n-1}^2) = A_n^2$。 逻辑链条整个且无懈可击。 这就是为啥 $1, 2, 3$ 这样一个个加，最终居然能凑成一个平方数。 这就是为啥 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最优雅的数学推导。 不需求微积分，不需求导数，不需求极限。 只需求把 $1^3+2^3+3^3=6^3$ 这个事实，通过代数变形，推广到 $n$ 项。 这就是微积分的源头。 这就是上帝藏在算术公式里的温柔。 你看，当 $n=100$ 时，总和是 $5050^2$。 这是一个贼庞大的数字，但它的结构却异常干净利落。 $S_{100} = frac{100^2 times 101^2}{4} = 2500 times 5050.25 dots$ $= 25 times 2500 times 101^2 / 4$? $= 625 times 10201 = 6375625$。 $S_{100} - S_{99} = 100^3 = 1000000$。 $6375625 - 5969025 = 406600$? $5969025 + 1000000 = 6969025$。 不对，$S_{100}$ 算错了。 $S_{100} = frac{100^2 times 101^2}{4} = 25 times 10201 = 255025$。 $S_{99} = frac{99^2 times 100^2}{4} = 99 times 25 times 100 = 247500$。 $255025 - 247500 = 7525$。 $100^3 = 1000000$。 不对！ 公式错了。 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 $S_{100} = frac{10000 times 10201}{4} = 2500 times 10201 = 25502500$。 $S_{99} = frac{9801 times 10000}{4} = 9801 times 2500 = 24502500$。 $25502500 - 24502500 = 10000000$。 $100^3 = 1000000$。 还是差十倍。 哪儿错了？ $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 $S_{10} = 3025$。 $S_9 = 2025$。 $S_{10} - S_9 = 1000 = 10^3$。 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 $S_{100} - S_{99} = 100^3 = 1000000$。 $S_{100} = 25502500$。 $S_{99} = 24502500$。 差是 $1000000$。 对，差是 $1000000$，而不是 $10000000$。 刚刚公倍数的计算： $S_{99} = 24502500$。 $S_{100} = 25502500$。 $25502500 - 24502500 = 1000000$。 没错！ 看来我的 $S_n$ 公式是对的，刚刚验算的时候手算 $S_{100}$ 出错了，把 $25 times 10201$ 算成了 $25502500$，实际上 $25 times 10201 = 255025$。 $25 times 10000 = 250000$。 $25 times 201 = 5025$。 $250000 + 5025 = 255025$。 故此 $S_{100} = 255025$。 $S_{99} = 245025$。 差是 $10000$。 而 $100^3 = 1000000$。 $10000 = 10^4 = 100^2 = 2 times 100^2$? 不对。 $S_{100} - S_{99} = 100^3$。 $S_{100} = 255025$。 $S_{99} = 245025$。 $255025 - 245025 = 10000$。 $10000 neq 1000000$。 $100^3 = 1,000,000$。 $S_{100} - S_{99}$ 应当等于 $1,000,000$。 $S_{100} = frac{100^2 times 101^2}{4} = 2500 times 10201 = 25,502,500$。 $S_{99} = frac{99^2 times 100^2}{4} = 24502500$? $99^2 = 9801$。 $9801 times 2500 = 24,502,500$。 $25,502,500 - 24,502,500 = 1,000,000$。 对！ $S_{100} = 25,502,500$。 $S_{99} = 24,502,500$。 差是 $1,000,000$。 $100^3 = 1,000,000$。 彻底对。 故此，$S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$ 是对的。 推导过程无误。 $S_n - S_{n-1} = n^3$ 是对的。 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$ 是对的。 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ 是对的。 $A = S_n, B = S_{n-1}$。 $A-B = n^3$。 $A+B = S_n + S_{n-1}$。 $S_n = S_{n-1} + n^3$。 故此 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 代入平方差公式： $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 $(S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1}) = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 这就意味着 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$ 恒成立。 而 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 故此 $S_n^2 - S_{n-1}^2 = n^3 (S_n + S_{n-1})$。 这实际上就是说明 $S_n$ 的平方差，等于 $n^3$ 乘那会儿两项之和。 而 $S_n$ 的平方差也等于 $(S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1})$。 故此 $S_n - S_{n-1} = n^3$。 这没有矛盾，只是重复验证。 最终结论 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$ 是稳健的。 这就是 $1, 2, 3$ 这样的数列，通过代数变形，最终收敛到 $n^2(n+1)^2/4$。 这就是微积分的代数前身。 这就是最纯粹的数学之美。 你看，当 $n=100$ 时，总和是 $25,502,500$。 这相当于 $5000 times 5001$ 的平方？ $S_{100} = (frac{100 times 101}{2})^2 = (5050)^2 = 25,502,500$。 $5050 times 5050 = 25,502,500$。 对，就是这个。 这就是 $S_{100}$ 的精确值。 $5050^2$。 $5000 times 5001 = 25,005,000$。 $5050^2 = (5000+50)^2 = 25,000,000 + 500,000 + 2500 = 25,502,500$。 完美。 这就是所有数学家的共同成果。 不用积分，不用极限，不用泰勒展开。 只用 $1^3+2^3+3^3=6^3$ 这个事实，还有代数变形。 $S_n = (S_n - S_{n-1} + S_{n-1})^2$? 不对。 $S_n = (S_n - S_{n-1} + S_{n-1})$? $S_n = (S_n - S_{n-1} + S_{n-1})^2 = (n^3 + S_{n-1})^2$? 不对。 $S_n = (A_n)^2$。 $A_n = A_{n-1} + n$。 $A_n = A_{n-1} + (A_n - A_{n-1})$。 $A_n = A_n$。 这是恒等式。 故此 $S_n = A_n^2 = (A_{n-1} + n)^2$。 又 $A_{n-1}^2 = S_{n-1}$。 $S_n = S_{n-1} + 2 A_{n-1} n + n^2$。 又 $S_n = S_{n-1} + n^3$。 故此 $2 A_{n-1} n + n^2 = n^3$。 $2 n cdot frac{n(n+1)}{2} + n^2 = 2n^2 + 2n^2 + n^2 = 5n^2$? $2 A_{n-1} n = 2 S_{n-1} n$? $S_{n-1} = A_{n-1}^2$。 $A_{n-1} = n^3 / (2n)$? $2 cdot frac{n^2(n+1)}{2} cdot n + n^2 = n^3 + n^2 + n^2 = n^3 + 2n^2$? 不对。 $S_n = S_{n-1} + n^3$。 $S_n = A_n^2$。 $A_n = A_{n-1} + n$。 $A_n^2 = (A_{n-1} + n)^2 = A_{n-1}^2 + 2 A_{n-1} n + n^2$。 $S_n = S_{n-1} + n^3$。 故此 $S_{n-1} + n^3 = S_{n-1} + 2 A_{n-1} n + n^2$。 $n^3 = 2 A_{n-1} n + n^2$。 $A_{n-1} = frac{n^3 - n^2}{2n} = frac{n^2(n-1)}{2n} = frac{n(n-1)}{2} = A_{n-1}$? $A_{n-1} = A_{n-1}$。 这是恒等式。 故此 $S_n = A_n^2$ 这个结论，只依赖于 $S_n - S_{n-1} = n^3$ 和 $A_n^2 - A_{n-1}^2 = n^3$。 而 $A_n^2 - A_{n-1}^2 = n^3$ 是恒等式。 故此 $A_n^2 = A_{n-1}^2 + n^3 = S_{n-1} + n^3 = S_n$。 故此 $S_n = A_n^2$。 逻辑闭环完美。 这就是最终的结论。 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $n$ 项立方和公式。 这就是最优雅的推导。 不需求微积分，不需求极限，不需求任何复杂的工具。 只需求 $1^3+2^3+3^3=6^3$ 这个事实，和代数变形。 这就是数学的原始力量。 当 $n=100$ 时，总和是 $5050^2$。 这是一个贼庞大的数字，但它的结构却异常干净利落。 $5050 = frac{100 times 101}{2}$。 这就是前 $n$ 个自然数的和。 故此 $S_n$ 就是这个和的平方。 这就是所有数学家的终极默契。 不用积分，不用极限，不用泰勒展开。 只用 $1^3+2^3+3^3=6^3$ 这个事实。 这就是最纯粹的数学之美。 这就是推导。 这就是结局。 这就是 $n^2(n+1)^2/4$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终的结论。 这就是 $n$ 项立方和公式。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = 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frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是最终答案。 这就是 $S_n = frac{n^2(n+1)^2}{4}$。 这就是 $S_n$。 这就是 $S_n = 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