z 分数，也就是欧拉 - 莫拉 (Euler-Mora) 分数，这东西在数据分析里是个“老古董”了，老得还当作它是个真正的统计学家才发现的发明，实际上它就是统计学里那些老家伙随手拿过来就能用的工具。咱们不用那些整规整齐的术语堆砌，今天咱们就聊聊它到底是个啥，如何算，还有它到底能不能用。 先说它的名字和定义。z 分数，全称 is the number of standard deviations from the mean，翻译成大白话就是“离均值的标准化距离”，而"z"就是英语里"z-score"的缩写。
这玩意儿的核心逻辑挺好办：它把某个数据点放在整个分布的位置上。
要是数据呈现正态分布，那么数值越大，说明它越远、越高；数值越小，说明它越近、越低。 举个孙笑川的例子，千万别认定他是个笑话，他只是个数据。假设我们有一个均匀分布的数据集，范围是 1 到 100。
要是我们想算 50 这个数值的 z 分数，那答案就是 0，出于均匀分布里中位数就卡在 50 这儿。但要是改成从 1 到 200 的均匀分布，50 那个值就偏低了，z 分数大约是 -1。
反过来，要是从 1 到 500 的均匀分布，50 就是个低分，z 分数大约是 -1.6。并且，这跟数据的分布形状彻底没关系，哪怕数据是归一化的标准正态分布，50 这个取值一辈子比 60 低一个正数，出于 60 本身就当作是“更高”的。 这个难题最费事的地方在于，z 分数不要求数据一定要符合正态分布，但反过来，它忒依赖正态分布了。
要是数据严重偏态，比如右偏，所有大数值聚集在一起，那么算出来的 z 分数就会歪歪扭扭，彻底丧失意义。
这时候，用标准差就来不及了，出于标准差本身也是基于正态分布假设推导出来的。
故此，z 分数实际上是个“双刃剑”，用得好是衡量分布位置的神器，用不好就是个靠天进食的算命先生。 那么具体如何算呢？公式就是：$z = frac{x - mu}{sigma}$。输入两个参数：均值 $mu$ 和标准差 $sigma$。
这个式子看起来好办，但实际操作起来坑多。最常见的毛病是忘了这一步：$x$ 务必得先标准化，要么说是“居中”处理。
比方说，要是你有一组数据，均值是 50，方差是 100（标准差 10），而你拿到一个 60 的数据点，直接算 $frac{60 - 50}{10} = 1$，这没错。但要是你拿到的是 30，算出来是 $frac{30 - 50}{10} = -2$。
这时候难题来了，平均数是 50，均值是 50，那 30 和 60 哪个离均值远？显然 60 更远，离得是 10 个单位，30 离得是 20 个单位。按 $z$ 分数算，60 是 +1，30 是 -2。
这就怪了，正态分布里，离均值越远，数值应当越大才对。
如何 30 反而比 60 小？显然不是 $x$ 本身的大小，而是 $x$ 相对于均值的偏差在缩小了。 再换个场景，要是数据是高度右偏的，均值 50，标准差 10。
这时候 60 看起来是个“超常”值，正态分布里算出来是 +1，但在这种偏态分布里，60 实际上是个低分，均值那是 50，60 靠近 50 了，故此 $z$ 分数得是 -0.2。而 30 呢，在正态分布里是 -2，但在这种偏态里，30 是个高分，接近 50 了，故此 $z$ 分数得是 +0.8。
这时候要是不做标准化，直接用原始数据算 $x - mu$，那 60 是 +10，30 是 -20。
显然，直接拿原始差值来除以标准差，彻底搞反了大小关系。
故此，这个公式里的 $x$，务必是中心化后的值，要么说是 $x - mu$ 这种“相对位置”的差。 还有一些特殊情况的处理也得提一下。
要是数据是离散的，比如从 0 到 100 的整数 0,1,2...100，这时候直接套用连续正态分布的公式就不中了。
这时候得先做离散化处理，比如用打散 (binning) 要么对数变换，把连续的数字变成连续化的数值，然后再算。
要么，你能够用 $z = frac{x - mu}{sigma}$，但这在离散数据上效果一般，往往需求更复杂的插值法。 另外，计算精度也是个难题。
要是数据里有 3 位小数，最终算出来的 z 分数可能有更多位小数。
有时候这个精度不够，害得排序要么后续分析出现细小的偏差，但大量时候这种偏差在工程上是能够忽略的，就连能够说是“随机的噪声”，就像在排队打号，每分钟多打一个号码，顺序可能慢了半拍，但大家都差不多。 最终总结一下，z 分数是个挺老挺实用的概念，它能把不同量纲、不同单位的数据转换到一个统一的坐标系里。算它的时候，核心就是除以标准差，分子是差值，分母是标准差。但切记，它不是万能的，它假设数据大体是正态分布的，要是数据严重偏态或双峰，那个分数就彻底变味了。
这时候，别死磕 z 分数，老老实实用箱线图要么直方图看看分布形状，按需选择工具，这才是数据的真本事。
