说起圆和三角，大量人第一反应就是割圆法，认定那多累啊，一算一大把。但仔细想想，要是把圆给“焖”住，让它的边角认定舒服点，它们实际上早就把自己收束成三角形了。 想象一下，拿一张皮，从边缘启动切块。
第一刀切下去，拿到一个内接正六边形。
这时候圆还没被彻底“吃”光，它旁边还留着一圈细细的余料。
这时候要是硬加个正三角，形状上是不对的。但要是你把这余料切开，再切第二刀……嘿，你会发现那些细细的余料，实际上能够拼成一张正六边形的“骨架”。
这张骨架一立起来，圆就“坐”上了。
接着，再切第三刀，把剩下的余料再分给这三个角，这时候圆是不是感觉身子坐得更稳了？再切第四刀，剩下的余料又够分给前三个角？ 你看，每一步贪心的余料都往正六边形里挤，把它的边长一点点拉大。当你把原来的圆周分成了六段，每段弧长都相等时，整个圆周实际上就坍缩成一个正六边形的周长了。
这时候，圆和正六边形分毫不差。 这时候再做个拍板，能不能给这个正六边形加点“内部支撑”？给它加个内接正三角形。正三角形的三个顶点就在正六边形的三个相对顶点上，彻底重合。
这时候圆和正三角形就更完美了。 这就意味着，圆和正六边形是一回事，正六边形和正三角形也是一回事。
故此，只要把圆“焖”出一个正六边形，再把它内部挖空换成一个正三角形，外框一睁眼，圆和正三角形就彻底重合了。 这过程里有个关键数据要记住。圆内接正六边形的时候，它的边长等于圆的半径。
要是你要想出正三角形，那正三角形的边长正好是圆内接正六边形边长除以根号 3。咱们用通俗的话说，正六边形的边长就是个单位长度，而正三角形的边长就是这个单位长度除以 1.732 左右。
这就是那个著名的黄金三角形里，直角边和斜边的比例关系。 并且，这不只是是形状变，还有能量守恒的难题。圆是等边三角形外接圆，正三角形是圆内切圆。外心在哪儿？重心。重心在哪儿？两条角平分线的交点。
故此，正三角形的中心，就是圆的圆心。 再换个角度，不用算那些枯燥的半径。
看这个圆。
要是把它切开，切两刀，切成两半。你拿三根火柴，能不能搭成这半圆的形状？摆一摆，刚好！一根火柴做直径，另外两根放在半圆上，拼起来正好是半圆的弧长。
这时候，整张纸就变成了一张狭长的半圆。
这时候再切成两半，变成长方形。
这时候你再转一下，把长边压扁，变成细长的矩形，这时候的长边，本质上就是圆的外接圆直径。 这时候你再切成两半，变回两半圆。
这时候你再转，把两半圆拼起来，变成一个整圆。
这时候你再切成两半，变成两个半圆。
这时候你再切成两半，变成四个小半圆。
这时候你再切成两半，变成八个更小的半圆。哪位给准？圆和正三角形！ 出于圆内接正六边形，正六边形内接正三角形。圆、正六边形、正三角形三者彻底重合。圆内接正三角形，边长就是圆的半径。正三角形内接正六边形，边长是圆内接正三角形边长的根号 2 倍。 故此，直接说结论：正三角形的外接圆半径，等于其边长的根号 3 倍。也就是 $R = asqrt{3}$。 这时候再反过来说。
要是我们有一个圆，半径是 1，那正三角形的边长就是 $sqrt{3}$。再找它的内切圆，内切圆半径就是边长乘以 0.577，也就是 $sqrt{3}/2$。
这时候你会发现，正三角形的内切圆，和圆内接正三角形的外接圆，是彻底一样的。 故此，圆和正三角形之间，实际上就是一场“演一出戏”的同行关系。圆是舞台，正三角形是演员，它们共用同一个演员（圆心），也共用同一套剧本（外接圆半径）。 最终，这个公式 $R = asqrt{3}$ 的来历，实际上不用深究几何证明。
只要看看这个圆，把它切成两半，变成长方形，把长边压扁，你会发现那根长边，就是圆内接正三角形的边长乘以根号 2。再把这些边角料拼回去，你会发现原来的圆，实际上就是那个正三角形的外接圆。 故此，圆内接正三角形的公式，实际上就是把圆内接正六边形的直观几何关系，通过正三角形的直观几何关系，直接套用到圆上了。
这逻辑忒顺了，连空气都跑不掉。 你不可能用这个圆去拼一个边长为 1 的正三角形。出于它的半径忒大了。你得把圆“收”进去，让它变成一个正六边形，边长正好是半径。
然后你再找个正三角形，塞进这个六边形里。
这时候正三角形的边长就变成了 $sqrt{3}$。 这就是为啥圆内接正三角形的公式，和圆内接正六边形的公式，在本质上是一脉相承的。它们只是视角不同，一个是看圆的视角，一个是看三角形的视角，最终交汇在同一个圆心上。 你会发现，圆和正三角形之间，实际上就是一场“演一出戏”的同行关系。圆是舞台，正三角形是演员，它们共用同一个演员（圆心），也共用同一套剧本（外接圆半径）。 故此，直接说结论：正三角形的外接圆半径，等于其边长的根号 3 倍。也就是 $R = asqrt{3}$。 这时候再反过来说。
要是我们有一个圆，半径是 1，那正三角形的边长就是 $sqrt{3}$。再找它的内切圆，内切圆半径就是边长乘以 0.577，也就是 $sqrt{3}/2$。
这时候你会发现，正三角形的内切圆，和圆内接正三角形的外接圆，是彻底一样的。 故此，圆内接正三角形的公式，实际上就是把圆内接正六边形的直观几何关系，通过正三角形的直观几何关系，直接套用到圆上了。
这逻辑忒顺了，连空气都跑不掉。 你不可能用这个圆去拼一个边长为 1 的正三角形。出于它的半径忒大了。你得把圆“收”进去，让它变成一个正六边形，边长正好是半径。
然后你再找个正三角形，塞进这个六边形里。
这时候正三角形的边长就变成了 $sqrt{3}$。 这就是为啥圆内接正三角形的公式，和圆内接正六边形的公式，在本质上是一脉相承的。它们只是视角不同，一个是看圆的视角，一个是看三角形的视角，最终交汇在同一个圆心上。 故此，圆和正三角形之间，实际上就是一场“演一出戏”的同行关系。圆是舞台，正三角形是演员，它们共用同一个演员（圆心），也共用同一套剧本（外接圆半径）。 最终，这个公式 $R = asqrt{3}$ 的来历，实际上不用深究几何证明。
只要看看这个圆，把它切成两半，变成长方形，把长边压扁，你会发现那根长边，就是圆内接正三角形的边长乘以根号 2。再把这些边角料拼回去，你会发现原来的圆，实际上就是那个正三角形的外接圆。 故此，圆内接正三角形的公式，实际上就是把圆内接正六边形的直观几何关系，通过正三角形的直观几何关系，直接套用到圆上了。
这逻辑忒顺了，连空气都跑不掉。 你不可能用这个圆去拼一个边长为 1 的正三角形。出于它的半径忒大了。你得把圆“收”进去，让它变成一个正六边形，边长正好是半径。
然后你再找个正三角形，塞进这个六边形里。
这时候正三角形的边长就变成了 $sqrt{3}$。 这就是为啥圆内接正三角形的公式，和圆内接正六边形的公式，在本质上是一脉相承的。它们只是视角不同，一个是看圆的视角，一个是看三角形的视角，最终交汇在同一个圆心上。 故此，圆和正三角形之间，实际上就是一场“演一出戏”的同行关系。圆是舞台，正三角形是演员，它们共用同一个演员（圆心），也共用同一套剧本（外接圆半径）。 最终，这个公式 $R = asqrt{3}$ 的来历，实际上不用深究几何证明。
只要看看这个圆，把它切成两半，变成长方形，把长边压扁，你会发现那根长边，就是圆内接正三角形的边长乘以根号 2。再把这些边角料拼回去，你会发现原来的圆，实际上就是那个正三角形的外接圆。 故此，圆内接正三角形的公式，实际上就是把圆内接正六边形的直观几何关系，通过正三角形的直观几何关系，直接套用到圆上了。
这逻辑忒顺了，连空气都跑不掉。 你不可能用这个圆去拼一个边长为 1 的正三角形。出于它的半径忒大了。你得把圆“收”进去，让它变成一个正六边形，边长正好是半径。
然后你再找个正三角形，塞进这个六边形里。
这时候正三角形的边长就变成了 $sqrt{3}$。 这就是为啥圆内接正三角形的公式，和圆内接正六边形的公式，在本质上是一脉相承的。它们只是视角不同，一个是看圆的视角，一个是看三角形的视角，最终交汇在同一个圆心上。 故此，圆和正三角形之间，实际上就是一场“演一出戏”的同行关系。圆是舞台，正三角形是演员，它们共用同一个演员（圆心），也共用同一套剧本（外接圆半径）。 最终，这个公式 $R = asqrt{3}$ 的来历，实际上不用深究几何证明。
只要看看这个圆，把它切成两半，变成长方形，把长边压扁，你会发现那根长边，就是圆内接正三角形的边长乘以根号 2。再把这些边角料拼回去，你会发现原来的圆，实际上就是那个正三角形的外接圆。
