先别急着记公式，别像背书一样把偏导数像背字典一样背熟。
实际上大量时候，它就是个帮你找“方向”的工具，要么告诉你函数在某个点上是不是个“拐点”。别总想着齐次减齐次，也别总想着凑导数，有时候直接代入算，比绕弯子强多了。 拿 $f(x, y) = x^2y + y^2$ 来说，随意挑一个点，比如 $(1, 2)$。
要是只看 $x$ 的变化，那么 $x$ 对结局的影响就是 $2x$。
这时候 $x=1$，结局就是 2。再看 $y$ 的变化，$y$ 对结局的影响是 $2y$。$y=2$，结局就是 4。把这两块加起来，就是 6。
这个 6 就是 $(x=1, y=2)$ 处的偏导数值。 要是换个点，比如 $(2, 3)$。算 $x$ 的导数，$2x$ 变成了 4，代入 $x=2$ 拿到 8。算 $y$ 的导数，$2y$ 变成了 6，代入 $y=3$ 拿到 6。加起来还是 14。你会发现，点变了，结局从 6 变成了 14，这挺正常，出于函数的行为彻底取决于你选在哪块区域。 有时候直接代入是最快路子。
比如求 $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在 $(1, 1)$ 处的偏导。拿 $x$ 来看，导数是 $2x$，代入 $x=1$ 拿到 2。拿 $y$ 来看，导数是 $-2y$，代入 $y=1$ 拿到 $-2$。加起来就是 $0$。
这时候不用管那些复杂的链式法则，直接拿点进去算，往往能省一半力气。 但在实际做题的时候，你肯定遇到过那种“直接代入”认定费事的情况。
这时候就得用规则了。
比如 $f(x, y) = x^2y$，对 $x$ 求偏导，就是把 $y$ 当个常数留下来，然后对 $x$ 求导，拿到 $2xy$。对 $y$ 求偏导，就是把 $x$ 当个常数，对 $y$ 求导，拿到 $x^2$。 再比如 $z = x^2 + xy$，对 $x$ 求偏导，先拿 $x^2$ 对 $x$ 求导得 $2x$，再拿 $xy$ 对 $x$ 求导得 $y$，然后 $2x+y$ 加起来。对 $y$ 求偏导，$x^2$ 对 $y$ 是 0，$xy$ 对 $y$ 是 $x$，加起来就是 $x$。 实际上大量时候，你不需求记住所有的公式，只需求记住几个核心点。
比如高阶偏导数，实际上就是持续求导。
要是是二阶，那就是先求一阶，然后再对那个结局再求一次。
比如 $f(x, y) = e^{xy}$，先对 $x$ 求一阶，拿到 $ye^{xy}$。
然后再对这个结局对 $y$ 求一阶，这时候 $y$ 是常数，系数变成 $e^{xy}$，再对 $y$ 求导，指数里 $xy$ 变成 $x+1$，故此结局是 $xe^{xy}$。 还有时候，你会看到 $f(x, y) = ln(x^2 + y^2)$ 这种形式，求偏导的时候好办出错。
这时候别忘了加括号，对 $x$ 求导时，把 $x^2+y^2$ 当整体求导，结局是 $frac{2x}{x^2+y^2}$。对 $y$ 求导时，同理也是 $frac{2y}{x^2+y^2}$。
这种时候，把括号套进去，再老老实实分式求导，一般比乱套法则能快出数据。 实际应用的时候，别忒纠结于“化简”的最终结局。大量时候，算出 $x^2 - y^2$ 这种形式本身就挺清楚，直接代入就能拿到答案。
比如算出 $f_x(3, 4)$ 是 $12-16=-4$，$f_y(3, 4)$ 是 $12-16=-4$，那就直接告诉你，函数在 $(3, 4)$ 的斜率是 -4。 有时候你会想，是不是得把所有项都算出来再做减法？实际上不一定。
比如算 $f_x(x, y) = x + y^2$ 在 $(2, 3)$ 处的值。直接代入 $x=2, y=3$，拿到 $2+9=11$。
不用管 $y$ 如何变化，只要只要你定这个值是 11 就行。 在求二阶偏导的时候，有时候还会用到“常数求导”。
比如 $f(x, y) = x^2 + 2xy$。先对 $x$ 求一阶，拿到 $2x + 2y$。
这时候再对 $x$ 求二阶，把 $2y$ 当常数，求导就是 0。
故此 $f_{xx} = 2$。
这时候 $y$ 消亡了，说明 $x$ 的曲率跟 $y$ 没关系。 有时候你会发现，某个点算出来是 0，但你说这个函数是凸的，那是自然的。
比如 $f(x, y) = x^2 - y^2$，二阶对 $x$ 求导是 2，对 $y$ 求导是 -2。二阶导数矩阵里一个是正数，一个是负数，这就是个马鞍面，不是凸也不是凹。 计算过程中，数据挺关键。
比如算 $f(x, y) = (x^2y)^2$ 对 $x$ 的偏导。先展开，$(x^2y)^2 = x^4y^2$。再对 $x$ 求导，变成 $4x^3y^2$。
这时候数据是 $4x^3y^2$，代入 $x=1, y=2$，那就是 $4 times 1 times 4 = 16$。 别总想着去凑导数，有时候直接代入反而最快。
比如求 $f(x, y) = x^2 - y^2$ 在 $(1, 1)$ 处的偏导。拿 $2x$ 代入 $1$ 得 2，拿 $-2y$ 代入 $1$ 得 $-2$，加起来 0。
不用管 $2x$ 和 $-2y$ 是如何来的，直接拿 $x$ 和 $y$ 的值算完就行。 在实际操作中，你可能会遇到混合的情况。
比如求混合偏导数 $f_{xy}$。先对 $x$ 求一阶，再对 $y$ 求一阶。
比如 $f(x, y) = x^2y + y^2x$。先对 $x$ 求一阶，拿到 $2xy + y^2$。再对 $y$ 求一阶，把 $2x$ 当常数，得 $2x$，把 $y$ 当常数，得 $2y$。
故此 $f_{xy} = 2x + 2y$。 有时候你会揪心算错了，这时候能够用验证法。算出结局 $f_{xy}(1, 1) = 4$。再单独算 $f_{yx}(1, 1)$。先对 $y$ 求一阶，$x^2y + y^2x$ 对 $y$ 求偏导，拿到 $x^2 + 2xy$。再对 $x$ 求一阶，拿到 $2x + 2y$。代入 $(1, 1)$ 也是 4。两边结局一样，说明没算错。 最终，别忘了在应用时多看点的数据。
比如算 $f_{xy}(2, 3)$。先算出一阶导数 $2x + 2y$，再对 $y$ 求偏导 $2$。代入 $x=2, y=3$，拿到 $2 + 6 = 8$。
这就是 $f_{xy}(2, 3)$ 的值。 总而言之，偏导数这东西，核心就是“化归”。
不管函数长得有多复杂，最终都要化归成 $A cdot B + C cdot D$ 这种形式，然后再单独对变量求导。数据代入的时候，别废话，直接算。别总想着“起初、其次”，直接代入，算完看对不对就行。
