坐标变换这事儿，说白了就是拿着尺子去量不同的地图，大家说的尺度不一样，直接比大小肯定不中。就像你在手机上用高德地图看路线，切换到百度地图，随手新点个坐标，心里那股子“哎呀，原来这里跟那不一样”的感觉，就是坐标变换最直观的体现。
不用背啥复杂的矩阵公式，真到了时候，大家脑子里多转一圈，就能把这事儿理顺。 大量时候，我们感觉坐标变了，实际上只是看的角度要么用的尺子换了。
比如你在 Excel 里手动画个图，横着看是 x 轴，竖着看是 y 轴，这时候坐标就是(x, y)。但要是你转头用旋转后拿激光测个点，那个点的物理位置没变，只是你的视线和测量方式变了，坐标就得跟着转。
这种时候，不用苦思冥想公式，试着把那个旋转的棍子头，往原来的棍子方向一靠，再往上提一点点，要么往右挪一格，就能大致对得上。
这时候的变换，实际上是把空间里那个固定的点，拽到了新的参照系下。 下面几个万能公式，看你如何用都像饭搭子，一个比一个实在。 先说二维的旋转，这是大家最熟悉的。
要是你手里一个点坐标是 (x, y)，要把它转 45 度，那公式就是 x 加上 y，再乘以 0.707，然后加上一半的 x，最终除以根号二。别听那些书里讲“行列式”，简易版就是直接把原坐标往对角线方向一拉，略微偏一点，就能算出新的位置。
举个例子，假设你有点 (1, 1)，照着这招一算，结局变成了 (1.414, 0)。
这跟直觉差不多，你看原点在 (0, 0) 到 (1, 1) 的对角线上，转了 45 度，那点肯定往右上飘，算出来就在斜率 1 的线上，逻辑上是通的。
还有更好办的，要是你只想让 x 坐标正过来，没工夫算根号，那就把原来 x 的偶数项、y 的偶数项加起来，奇数项相减，最终除以 2 要么乘个系数，直接就能套出一个接近正坐标的新值。 再聊聊平移，也就是整体挪个位置。
这就像你在公园里迷路，东西就在原地没动，你只是自己走错了方向。别纠结矩阵乘法，直接拿旧坐标减去一个固定的向量，再扔到新坐标轴上就行。
比如你从 (0, 0) 走到 (5, 10)，目前的坐标是 (5, 10)。
要是你换个坐标系统，原点设在 (1, 1)，那同样的东西，新坐标就得变成 (4, 9)。千万别去推导这些公式，直接搬个算盘，旧坐标减个向量，扔到新原点上去，新坐标就出来了。
这种变换在实际工作中，比如做 3D 建模的时候，时常就是先把建筑放在 (0, 0, 0)，然后到处搬，最终再统一对齐到模型中心，这就是平移的现场版。 线性变换略微复杂点，实际上是旋转加平移的组合拳。
这时候的公式看着吓人，实际上只要把旋转局部拆开，先算间距，再算偏移，最终拼起来就行。
比如一个 3D 场景里的点，要是绕着 Z 轴转 90 度，那 x 轴和 y 轴就互换位置，大小不变。
这时候的变换公式，就是把 y 取反，x 保持不变，再加上那个旋转系数。别认定复杂，本质上就是把空间拆开，先搞清东西向还是南北向，再统一它们。
举个例子，有个点在 (2, 3, 4)，绕着 Z 轴转 90 度，新坐标就是 (3, -2, 4)。
注意看，x 和 y 的绝对值没变，只是相对位置变了，z 轴那个高度没动。
这种变换在摄影测量里特别常见，比如卫星图转成倾斜相机图，就是如此一步到位的。 还有旋转 90 度那种更纯粹的，实际上就是把坐标轴顺时针要么逆时针拧一下。
这时候公式就是 x 加 y，再乘以 0.707，然后加上一半的 x，最终除以根号二。别老盯着那些系数，直接想想，把原来的 x 往 y 方向靠，把 y 往 x 方向靠，就能套出那个新坐标。
要是不想算根号，那把原来的 x 乘上 0.707，y 也乘上 0.707，再分别加上自己的一半，最终除以 2，效果差不多，也能拿到相近的坐标结局。
这种变换时常用于把数据从某一列坐标系挪到另一列，只要记住“往对角线靠靠”的直觉，就能快速估算出新坐标。 再说说缩放，这是把格子打碎要么打大的过程。
要是是等比缩放，好办来说就是原来的倍数乘以个比例系数。
比如原来一个格子是 10 个单位，目前变成 5 个单位，那新坐标就是原来的 0.5 倍。
要是是拉伸，那就只是乘以新的比例，不管是啥比例，公式都是新比例乘旧坐标。
举个例子，有个点 (10, 10)，要是先等比缩放 0.5，再拉伸 2 倍，那新坐标就是 (1, 1)。先算 10 乘 0.5 等于 5，再乘 2 等于 10，坐标就从 (10, 10) 变到了 (10, 10)？不对，先算 10 乘 0.5 等于 5，再乘 2 是 10，哎，我算错了，应当是 (5, 5)。
这才对嘛，先缩小一半，再拉大两倍，回到原点，多了吗？没多。缩放的核心就是看比例，比例变了，坐标自然跟着变。 要是是透视变换，也就是把近大远小搞了个样，公式略微复杂点，但思路一样。就是把原来的 y 坐标乘以 y 除以 x，再乘以那个缩放系数，加上偏移量。别被那些字母绕晕了，实际上就是把原来的高度拉低，要么把高度拉高。
举个例子，有个点在 (1, 1) 和 (2, 2)，要是是透视变换，y 的变化会被 x 拉大。假设 x 从 1 变到 2，y 从 1 变到 2。
这时候新坐标就是 (2, 2) 的 y 局部乘以 2 除以 1，再减去 1。算出来就是 (2, 2)。
这种变换在地图投影里时常用到，比如把纸面地图拉伸成圆形的世界地图，就是如此一步步把坐标算出来的。 最终，异次坐标系转换，这是连坐标都换不了系统的综合体。
这时候只能用近似算法，大约能算出个范围，绝对精度差挺远。
比如从 GPS 的经纬度转成 WGS84，要么从厘米级的激光测距转成毫米级的全站仪坐标。
这时候的公式是先把经纬度转成平面直角坐标，再用不同的比例尺和偏移量，最终再转回去。别指望能精确到小数点后几位，这种转换出来的坐标，只能用来做大约的定位，不能当准尺用。
比如两个点用 GPS 测出来是 (12.345, 34.567)，用全站仪测出来是 (12.340, 34.562)，这两个数看起来简直一样，但背后的误差可能差几厘米。
这种转换在野外作业中贼常见，比如测绘员拿着不同设备的坐标，得先换算到同一个系统才能一起画图，这时候就得靠这个近似算法，别看不准，但能干活。 总而言之，坐标变换就是个“换局”的过程。你是人还是尺子，换了，坐标就变。别死磕那些冷冰冰的公式，多拿个计算器，多转个身，看看那点数据往哪儿飘，往往比算公式快多了。
特别是面对 3D 空间要么复杂场景时，试着先搞明白这东西在哪个角度，在哪个轴线上，再套用对应的变换，效果往往比背公式好使。
有时候，略微歪歪斜斜地看一眼，新坐标自然就出来了，不用非得凑齐所有数据，别那种死板的要求，灵活一点，往往能省不少事。
