常用傅里叶变换公式表-傅里叶变换常用公式表

傅里叶变换这东西，听着挺高大上，实际上说白了就是给一堆乱七八糟的信号，换个说法就是“老婆婆”。你心里想的那段旋律，要么车间里那台老旧的泵，它那会儿可能是一坨黑乎乎的电流，目前你直接切那会儿，立马就能变成规整划一的频率谱。
这操作在工程界叫信号处理，在数学界叫 Fourier 变换，但别跟那些写论文的导师解释“频域分析”，他们一听就懵，还是说成“把工夫轴拆开看”比较靠谱。 大量人认定高斯分布是数学里的正态分布，实际上它们是两码事。在统计学里，高斯分布那个 bell 曲线，它是描述概率密度函数的；但在傅里叶变换里，高斯函数才是那个铺路的砖，用来把一个纯正弦波的信号，慢慢揉成一团，揉到只剩下常数项（直流分量）。
为啥如此说？出于正弦波展开成级数需求无穷多项，那是“醉汉舞”；而高斯分布能麻利收敛，只保留主峰值，后面那几个小尾巴能立马忽略掉。
举个例子，要是一个信号是完美的方波，它实际上是由无数种不同频率的正弦波拼凑出来的，每种频率的权重都不一样。
要是直接扫描这些频率，数据量庞大。用高斯分布截掉尾部，把那些权重挺小的频率给砍掉，剩下的就只剩下一段干净利落的波形，计算量直接减个八叉，这在 FPGA 上跑起来都费劲。 再看信号的衰减，指数函数是衰减最快的魔术师。
要是你有一条随工夫呈指数下降的曲线，比如 $A e^{-gamma t}$，做傅里叶变换后，它直接变成一条干净利落的正弦波，系数就是它的衰减率 $gamma$。
这个规律忒爽了，简直是给信号降噪送钱。想象一下，你有一台电视天线，接收到的是周围强信号干扰下凌乱的电磁噪声，噪声在工夫上表现为凌乱无章的波动，但在频域里，它的高频分量全都在衰减函数下被“压”下去了。
这时候你只需求加个滤波电路，要么降个采样率，低频局部就出来了，高频的噪声自然就没了。
不用管信号具体是啥，只要它符合指数规律，傅里叶变换就是个万能钥匙。 有些话得解释一下，实际上傅里叶变换不是要把信号变成波，而是把波变成数。
那会儿我们看图像，是看像素；目前看数据，也是看像素，只不过像素变成了“幅度谱”。
你看这个频谱图，左边长长的尾巴，表示信号能量聚拢在低频率，右边那个尖尖的小峰，表示高频信息。
要是信号本身是纯偶函数，比如 $f(t) = f(-t)$，那它的变换结局就是实的，图里全是实数；要是是奇函数，那就是虚数了，这叫共轭对称。
这就好比你在做数学题，偶偶奇奇，结局直接对号入座，不用猜。 在实际应用里，有个现象特别有意思，叫“混叠”。
要是你采样频率不够高，比如采样率是 100Hz，但你想测一个 200Hz 的信号，结局出来的波形会有个双峰，中间挤着个基线。
这实际上就是把高频信号扯到了低频来了。
如何解决？挺好办，提升采样率。
这就好比你在拍电影，要是帧率忒低，连续的动作会变形。傅里叶变换在处理这种采样带来的失真时，贼精通把“混叠峰”识别出来，告诉你：“别急，这实际上是高频信号跑到低频来了，咱们看看具体是哪一种频率”。 还有那个常用的 DFT（离散傅里叶变换），实际上是把连续工夫傅里叶变换离散化的版本。你拿一组数据进去，算几个正弦波的系数，就能还原波形。小到听个音乐，大到监测变电站的电压波动，到处都有用。
比如电力系统中，变压器故障时会形成次谐波，这些次谐波频率挺低，但能量挺聚拢。用常规的频谱分析仪看，可能需求扫几十个点。用傅里叶变换的变体，比如小波变换要么带通滤波器组合，一秒钟就能把那个尖峰的频率挖出来，并且还能顺便看能量分布。 最终得提一句，傅里叶变换在计算机里有个缺点，就是需求挺大内存。高清视频文件动不动就几百 MB，出于里面有海量频谱数据。
这时候得用“软核”要么基于小波的小波包去处理。
不过目前的 GPU 加速挺快，这种内存消耗能够接纳。 总而言之，傅里叶变换这事儿，核心就三样：看频率、看能量、看收敛速度。它能把工夫轴上的混乱变成频域上的清楚，别看操作略微有点“撕碎重组”，但效果绝对不输有时候用来堆砌参数的拟合。下次你要搞个信号处理，别纠结数学推导了，直接上 MATLAB 的 fft 命令，要么 Python 的 numpy.fft，一行代码就能搞定。