长方形和正方形啊，这俩东西在咱们眼里挺不一样，一矮一高，一宽一长。
不过你记不住那些死板的公式，那哪位懂啊？咱们得把它们的骨头掰碎了揉碎了，像把骨头一样揉捏着，变成脑子里的东西，而不是堆在作业本上的墨迹。 先说说正方形，它就是一个四条边都那么规整得让人发愣的盒子。你拿它去量东西，会发现它四条边长得一模一样。
这如何量？公式实际上是“边长乘边长”，也就是 $a^2$。别被字母吓住了，它就是个好办的乘法。
要是你只是好办问一句“边长是多少”，那跟一个数字没区别；但你要是算周长，那就是四条边加起来，$4a$。
这就好比你在搭积木，每块积木都一样大，你围一圈，实际上就是 4 次拿一块积木。 举个小例子吧，咱假设边长是 5 厘米。
那它就是个正方形了，周长算下来是 20 厘米，面积嘛，就是 $5 times 5$，50 平方厘米。
这玩意儿在正方形里是最稳当的，四个角都变成直角，四个边都一样长，连风都吹不歪你。 再看看长方形。
这名字听着挺长，实际上是个“长方”板。它的四条边嘛，对边是平行的，长度也相等，可是邻边不一样。
这就好比两个长条面包夹着一个长条饼干，中间那块就是长方形。公式就是“长乘宽”，$ab$。
这里有个术语叫“长”，有个人叫“宽”，这只是约定俗成的分配，不是绝对的。你画个图就能明白，长是那一长条，宽是那一宽条。 咱还是来算算例子。假设长是 8 厘米，宽是 4 厘米。
那面积就是 $8 times 4$，一共 32 平方厘米。周长是 $8 + 4 + 8 + 4$，也就是 24 厘米。
你看，长方形比正方形复杂了一点点，出于它多了个角度。正方形是 90 度，长方形也是 90 度，但它是“长”和“宽”的夹角，不是邻边的夹角。 在数学里，长方形实际上就是正方形特宽松了。正方形是特殊的长方形，出于它四条边都相等。
这点挺关键，别被反着想。
要是你知道一条边是 5，另一条是 3，那它就是个长方形，面积是 15，周长是 16。
要是你知道两条边都是 3，那它就缩成正方形了，面积变成 9，周长变成 12。 实际上你看，这就是逻辑的链条。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。
这话说得跟绕口令似的，但道理就在心里。正方形没有“长宽”之分，它只有“边长”；长方形有了“长宽”，出于它能够拉长拉短，要不就它被压扁成菱形。菱形那是另一回事了，那是平行四边形里最怪的一种，四条边相等，但角是 60 度要么 120 度，那是正方形角度的“亲戚”。 说到这儿，你肯定认定我是不是在那儿啰嗦。别急，我知道你听得有点累，但咱得把这话说透。
有时候数学题就是让你套公式，有时候就是让你看图讲话。
看图讲话比套公式强多了。
比如给一个图，告诉你它是个长方形，长 7，宽 3，让你求面积。
这时候不用管 $a^2$ 和 $ab$ 哪位高哪位低，直接看那个图，标出长和宽，$7 times 3$ 就行了。 再讲讲应用场景。你在装修房子，算个房间的面积，那肯定是长乘宽。你买建筑材料，得算个总面积，那也是长乘宽。你计较的是钱，钱是按平方米算的。你在做数学题，有时候题目里没给长和宽，让你求周长，那你就要先猜出长和宽，要么用勾股定理算出长宽。
这时候公式就变成了推导工具。 还有啊，长方体和正方体。别看你只问了平面图形，但三维的立体世界里，它们也分得清。长方体就是各种尺寸的长方体，立方体就是特殊的长方体，六个面都是正方形。立体图形的表面积，是六个面的面积加起来。体积就是长乘宽乘高。 这就好比做饭。切肉要规整，切成正方形，工时少，好办切。切成长方形，工时略微多一点点，但能切出挺长的片。
有时候你只是想切一点，不想切忒费事，就切正方形；有时候你想切点长条的，那就得切长方形。选择啥形状，取决于你的需求，也取决于你手里的刀和肉。 故此啊，别死记硬背公式。公式是死的，你脑子里的几何模型才是活的。当你看到长条就想到长方形，看到方块就想到正方形，这就行了。
只要你能在脑子里画出来，知道哪边是长，哪边是宽，那公式自然就会出来了。 最终再啰嗦一句，正方形和长方形的区别，本质上是边长的平均数不同。正方形四条边相等，平均下来就是边长；长方形四条边不相等，平均下来叫长和宽。
这就好办了。咱们不提那些复杂的代数推导，只提图形，只提感觉。图形就是最直观的，比文字快多了。文字慢得像在念经，图形快得像在眨眼。 总而言之，记住这俩公式，$a^2$ 和 $ab$。别把它们当成禁药，当成你的几何工具箱里的两把刷子。一把是方形的，把圆角掰成直角；一把是长方形的，把直角掰成长。它们都是数学的一般/平平成员，没有高低贵贱。
只要你会画，你会算，你就掌握了它们。
