tan 的导数是啥来着来着，实际上就是正弦除以余弦啊。别跟我整那些绕口的名词，直接点：$frac{d}{dx}tan x = sec^2 x$。
这玩意儿看着挺玄乎，但拆开了实际上就是一道根本的代数变形。 你看，$tan x$ 是个分数，分子是 $sin x$，分母是 $cos x$。它俩之间有个严格的依赖关系，里子就是外子，外子就是皮。
故此它的导数，本质上就是求“分子”和“分母”分别导出来，然后除商。分子求导，$frac{d}{dx}sin x$，这玩意儿是恒等来的，等于 $cos x$。分母求导，$frac{d}{dx}cos x$，这个略微绕点，等于 $-sin x$。正负号和哪位乘哪位就定死了。
故此算出来就是 $frac{cos x}{-sin x}$。
这时候大家应当能猜到了，这个式子有个公因数，就是 $-frac{1}{sin x}$。持续往下推，分子里的 $cos x$ 和分母里的 $sin x$ 是个倒数关系。也就是 $sin x$ 乘以 $cos x$ 等于啥？这个积化和差公式记熟没？$frac{1}{2}[sin(2x)]$。
对，就是这个。 那下一秒呢？我们要把分母里的 $-sin x$ 和这个积出来的 $sin 2x$ 凑成一对。$sin 2x$ 展开就是 $2sin x cos x$。把分母那个 $-sin x$ 提出来，剩下 $-frac{1}{2sin x cos x}$。
哎，这步实际上有点巧。我们再看看刚刚那个式子，$frac{cos x}{-sin x}$，能不能把它变形得更有点意思？$sin x$ 和 $cos x$ 互换一下位置，前面加个负号，后面除了平方。
这就变成了 $-frac{cos^2 x}{sin x cos x}$。分子分母同除以 $cos x$，分母少一个 $cos x$，分子多一个，这操作叫倍角公式嘛。 便 $sin 2x$ 又回来了。$sin 2x$ 等于 $2tan x cdot cos^2 x$ 吗？不对，还是用之前的 $2tan x cos^2 x$ 更顺。
那把 $sin 2x$ 代回去，整个式子就化成了 $-frac{2tan x cos^2 x}{2tan x cos^2 x}$。分母被消掉了，剩下 $-tan x$。
什么的，这不对啊，原函数是 $tan x$，导数如何会变成 $-tan x$ 呢？
是不是哪儿算错了。 再重新梳理一遍。$frac{d}{dx}(frac{sin x}{cos x})$。分子导数 $cos x$，分母导数 $-sin x$。结局是 $frac{cos x}{-sin x}$。
这一步没错。接下来用 $cos^2 x + sin^2 x = 1$。分子 $cos x$ 平方就是 $1 - sin^2 x$。
故此式子变成 $frac{1 - sin^2 x}{-sin x} = -frac{1}{sin x} + sin x$。
这倒是变出来了，但还没到最终结局。 $frac{1}{sin x}$ 就是 $csc x$，也就是 $-cot x$ 的反之数？不对，$csc x = frac{1}{sin x}$。
那 $-csc x + tan x$ 仿佛也没简化。
是不是我换个角度？把 $sin x$ 换成 $tan x$。$sin x = frac{tan x}{sec x}$。代入进去。$frac{d}{dx} frac{tan x}{sec x} = frac{sec x cdot sec^2 x - tan x cdot 2sec x cdot sec^2 x}{sec^4 x}$。 算了，还是走原来的道。回到 $frac{cos x}{-sin x}$。把分子分母同乘 $sec^2 x$。分子变成 $-cos x sec^2 x$。分母变成 $-sin x sec^2 x$。
这仿佛也没简化。让我们试试另一种路径。$frac{d}{dx} tan x$ 等于 $frac{1}{cos^2 x}$。
这个结论忒直接了，但如何用初等函数推导呢？ $frac{d}{dx} (sin x cdot cos^{-1} x)$。直接用乘积法则？$frac{d}{dx}sin x cdot cos^{-1} x + sin x cdot frac{d}{dx}cos^{-1} x$。
第一项是 $cos x cdot cos x = cos^2 x$。
第二项是 $sin x cdot (-sin x) = -sin^2 x$。加起来就是 $cos^2 x - sin^2 x$。
这就回到了二倍角公式了。$cos^2 x - sin^2 x = cos 2x$。但这仿佛不是 $sec^2 x$。
哪儿出难题了？ 哦！二倍角公式展开是 $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = 2cos^2 x - 1$ 要么 $1 - 2sin^2 x$。
那 $cos^2 x - sin^2 x$ 等于啥？它等于 $cos 2x$。可我期待的是 $sec^2 x$。$sec^2 x = frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x$。
这俩数值不一样啊？
如何可能？ $frac{d}{dx} tan x = sec^2 x$。
这是个铁律。
那我的推导哪儿错了？$frac{d}{dx} sin x cdot cos^{-1} x$。$sin x$ 的导数确实是 $cos x$。$cos x$ 的导数确实是 $-sin x$。乘积法则里，$sin x$ 是乘在 $cos^{-1} x$ 前面的。
那是不是我把变量搞混了？
要么是公式记错了？ $frac{d}{dx} frac{sin x}{cos x} = frac{cos x cos x - sin x (-sin x)}{cos^2 x} = frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x} = frac{1}{cos^2 x}$。 啊！原来如此。刚刚我在验证二倍角公式的时候，把分子算成了 $cos x$ 和 $-sin x$ 相乘，符号搞反了。$frac{d}{dx}(cos^{-1} x)$ 的导数是 $-frac{1}{sqrt{1-x^2}} = -sec x$。
哦，那是反余弦。
反正弦的导数就是 $cos x$。
对，反正弦的导数 $frac{d}{dx}arcsin x = frac{1}{sqrt{1-x^2}} = sec x$。 $frac{d}{dx} sin x cdot sec x$。乘积法则：$cos x cdot sec x + sin x cdot sec x tan x = cos x cdot sec x + sin x cdot frac{sin x}{cos x}$。$cos x cdot sec x = 1$。
第二项是 $frac{sin^2 x}{cos x}$。加起来是 $1 + frac{sin^2 x}{cos x} = frac{cos x + sin^2 x}{cos x} = frac{cos x + 1 - cos^2 x}{cos x}$。
这也不对。 $frac{d}{dx} tan x$ 应当是 $sec^2 x$。
那 $frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x}$ 是如何来的？分子分母同除以 $cos^2 x$。分子 $1$，分母 $sec^2 x$。
对，就是 $sec^2 x$。 那之前的毛病在于把 $frac{d}{dx}cos^{-1} x$ 记成 $-sec x$，然后跟 $sin x$ 乘起来。
实际上应当是 $frac{d}{dx} sin x cdot cos^{-1} x$，这里 $cos^{-1} x$ 导数不是 $-sec x$。
反正弦的导数是 $sec x$。 $frac{d}{dx} (sin x cdot cos^{-1} x)$ 这个思路是错的。对的做法是 $frac{d}{dx} (frac{sin x}{cos x})$。分子导数 $cos x$，分母导数 $-sin x$。结局是 $frac{cos x}{-sin x}$。
这一步没错。
那 $frac{cos x}{-sin x} = frac{1 - sin^2 x}{-sin x} = -csc x + sin x$。
这也没化简。 $frac{cos x}{-sin x} = -cot x$。
那 $-cot x$ 的导数是啥？$-frac{d}{dx}(frac{cos x}{sin x}) = -frac{-sin^2 x - cos x cos x}{sin^2 x} = -frac{-(sin^2 x + cos^2 x)}{sin^2 x} = -frac{-1}{sin^2 x} = frac{1}{sin^2 x} = csc^2 x$。 $frac{csc^2 x + cot^2 x}{sin^2 x}$。
这仿佛走远了。 还是回到 $frac{d}{dx} tan x = sec^2 x$。
这个公式是标准结论，不需求一步步证。它是微积分里最基础的工具之一。你能够把它看作整个函数族 $f(x) = a tan x$ 的 $a$ 的导数。$df/dx = a sec^2 x$。 要么换个说法。$tan x$ 能够看作 $x$ 乘以 $sec x$ 再除以 $sec x$？不对。 $tan x = frac{sin x}{cos x}$。对数的导数？$(ln tan x)' = frac{1}{tan x} sec^2 x = frac{sec^2 x}{tan x} = frac{1}{sin x cos x} = frac{2}{sin 2x}$。
这也没用。 好吧，既然推导如此痛苦，不如多看看例子。 当 $x=0$ 时，$tan 0 = 0$，导数应当是 $sec^2 0 = 1$。图像在原点斜率是 1，正好。 当 $x=frac{pi}{4}$ 时，$tan frac{pi}{4} = 1$，导数 $sec^2 frac{pi}{4} = 2$。斜率是 2，没难题。 当 $x=frac{pi}{3}$ 时，$tan frac{pi}{3} = sqrt{3}$，导数 $sec^2 frac{pi}{3} = 4$。 看这个切线。$y = tan x$ 在 $x=frac{pi}{3}$ 处的切线方程是 $y - sqrt{3} = 4(x - frac{pi}{3})$。展开一下，$y = 4x - frac{4pi}{3} + sqrt{3}$。当 $x=0$ 时，$y = -frac{4pi}{3} + sqrt{3}$。
这切线在左边下穿，右边上穿，符合导数变化率。 那有没有其他写法？比如 $sec^2 x = 1 + tan^2 x$。
这个形式更常用，特别是在三角恒等变换里。把 $sec^2 x$ 换成 $1 + tan^2 x$，式子就变成 $1 + tan^2 x$。
这跟函数 $y = 1 + x^2$ 的导数 $2x$ 挺像。 再想想，$sin x$ 的导数是 $cos x$，$cos x$ 的导数是 $-sin x$。
这两个加起来是 0。
那 $tan x$ 的导数是不是 0？显然不是。
为啥？出于 $sin x$ 和 $cos x$ 不是比例关系，$frac{sin x}{cos x}$ 的导数取决于 $frac{-sin x}{cos x}$ 加 $frac{sin x}{cos x}$。等一下。 $frac{d}{dx}tan x = frac{cos x}{cos x} - frac{sin x}{cos x} cdot (-sin x) dots$ 不对，是 $frac{cos x cos x - (-sin x)sin x}{cos^2 x}$。分子是 $cos^2 x + sin^2 x = 1$。
故此导数就是 $frac{1}{cos^2 x}$。 有没有可能写成 $(frac{1}{cos x})^2$？对，就是 $sec x$ 的平方。$sec$ 是 $1/cos$。 那这个公式在积分里如何用？$int sec^2 x dx = tan x + C$。
这是分部积分法的特例，要么说是直接积分。 要是你没记住 $frac{d}{dx}tan x = sec^2 x$，你能够强行推导。设 $u = tan x$，$du = sec^2 x dx$。
故此积分就是 $u$。 要么设 $f(x) = tan x$。$f'(x)$ 就是切线斜率。在 $x=0$ 是 1，在 $x to pi/2$ 是无穷大，出于分母 $cos x$ 趋向 0。$sec^2 x$ 在 0 是 1，在 $pi/2$ 是无穷大。彻底吻合。 故此，tan 的导数就是 $sec^2 x$。
这好办得让人质疑人生，但确实是这样。没啥复杂的系数，符号是正号。出于 $-sin x$ 和 $-cos x$ 的乘积是 $sin x cos x$，分母是 $cos x$ 平方，消掉一个 $cos x$，剩 $sin x$ 平方。
不对，分子分母同除以 $cos x$。分子是 $cos x$ 除以 $cos x$ 等于 1。分母是 $cos x$ 除以 $cos x$ 等于 $sec x$ 平方。
对，就是这样。 再补充一点，$sec^2 x$ 在范围 $(-pi/2, pi/2)$ 内恒正。$tan x$ 在这范围单调递增，故此导数必然为正。符合几何直观。 有没有啥边缘情况？$x = frac{pi}{2}$。$cos x = 0$，$sec x$ 无定义，导数无定义。$tan x$ 垂直渐近线。
这也对。 总结就是，$frac{d}{dx}tan x = sec^2 x$。就如此好办。
不需求纠结中间的推导步骤，直接背公式，理解它的几何意义（斜率），这比背一堆推导过程强得多。 在应用里，比如解微分方程。一阶线性方程 $y' + P(x)y = Q(x)$。
要是 $P(x)$ 是 $tan x$，那可能需求用到自己的导数。
比如方程 $y' = tan x$。直接积分 $y = int tan x dx = tan x + C$。
这就是导数公式的直接应用。 要么物理难题。弹簧振动的位移 $y(t) = A sin(omega t)$。速度是 $v(t) = Aomega cos(omega t)$。用链式法则求导。
要是是 $s(t) = tan(t)$，速度是 $sec^2(t)$。 总而言之，这就是个标准的根本导数。没啥好纠结的。直接告诉你结局，顺便解释一下 $sec$ 是啥，这样用户能从根本上记住。 $sec x$ 是余弦的倒数。$sec^2 x$ 是余弦倒数平方。在三角函数里，这俩关系忒紧密了。$sin^2 + cos^2 = 1$，两边除以 $cos^2$，就拿到 $1 + tan^2 = sec^2$。
这恒等式天天用。 故此，最终的答案挺明确。$frac{d}{dx}tan x = sec^2 x$。就如此点。没啥大不了的，这就是微积分的基石之一。
