你手里拿的圆锥，实际上是生活中最常见的几何模型。别老想着背诵那些死板的定义，咱就把它当个能装东西的袋子来想。
有时候你拍拍肚子，那是圆锥的底面，有时候你倒扣个杯子，底面就是圆，圆锥就是立在上面那个尖儿。
这两个东西的关系，就像人和树的关系：树长在地上，人站在树上，人就是圆锥，树是底面，而人头顶那个尖尖的骨头，就是顶点，要么说那个“高高在上”的轴心。 关于体积，这是最实用的那个。公式出来吧？$V = frac{1}{3}Sh$。
记住这个分数字母，比记住“三分之一”强。$S$ 就是那个底面的面积，一般是个圆，$Sh$ 等于 $r^2$ 乘以 $h$。
这玩意儿如何算？好办粗暴地，底面积乘高再除三。哪个局部能忽略？那个尖尖的顶点，厚度算不算面积？不算。
故此圆锥就是个抛物线形的碗倒过来，要么说是个被切了一半的火山口，只是那个切面是个圆，剩下的局部是个三棱锥，也就是一块肉饼被切成了等腰三角形。 说到实际运用，咱们得给点数据，不然这公式就飘在天上看不见。
比方说，你家里有个圆锥形的冰淇淋容器，底面半径大约是 5 厘米，高是 10 厘米。
那它的体积就是 $pi times 5^2 times 10 / 3$，算出来大约 261 立方厘米。再比如，你装修屋顶，有个圆锥形的塔尖，直径是 6 米（半径 3 米），高是 8 米。
那你的每平米屋顶，大约能装多少“圆锥空间”？用 $3.14 times 3^2 times 8 / 3$，结局大约是 749.2 立方厘米。
这些数据看着吓人吗？不，它们就是咱们生活中实实在在的空铁皮要么奶油。 还有啊，圆锥体积和圆柱体积比是一比三。
这个比例关系你得记牢。
为啥呢？出于要是你把圆锥的顶点压扁，它就像被弹出了一块。拿两个彻底一样的圆锥，底面重合，底对底，底面重合，顶对顶，拼起来，不就变成一个高圆柱了吗？故此体积自然就该是圆柱体积的三分之一。
这个逻辑链条，比背诵公式更牢固。 再看圆锥侧面积。别被这四个字母搞晕了，$S_{侧}$就是侧面积。
如何算？它是底面周长乘以高再除以二。
为啥除以二？出于侧面展开是个扇形，这个扇形的弧长等于底面周长，而这个扇形是三角形拉长了。想象一下，把圆锥的侧面像剥洋葱一样一剥，你会拿到一个扇形。
这个扇形的半径就是圆锥的母线（也就是从顶点到底面圆上任意一点的距离），弧长就是底面圆的周长。公式写出来是 $L = 2pi r times h / 2$，化简就是 $L = pi r h$。
这公式还能用吗？自然能。
比如你有一根绳子，不能直接卷成圆锥，但要是你想知道它卷成圆锥的表面积，要么计算那个展开扇形的面积，就用这个。 有时候你会认定这个公式忒抽象，认定只看不算没啥用。
实际上不然。生活中到处都是圆锥。路灯的灯头，实际上就是倒圆锥；车排气管的截头锥形，也是圆锥；就连你就寝时的枕头，要是是圆形的，中间有个小孔，那就是个细长的圆锥。咱们数学课上学到的东西，得落到生活里去。
比如你买圆锥形油桶，买的时候商家不会按体积卖，而是按侧面积卖，要么你想知道它装多少油，就要算体积。 再聊聊圆锥的面积那一章。底面积好算，就是圆面积公式。侧面积呢？刚刚说了，是 $pi rh$。
那能不能合并成一个公式？能啊，$S_{侧} = pi rh$。
这个 $r$ 和 $h$ 在圆锥里定义不同，一个是半径，一个是母线。计算的时候得仔细。
要是只知道底面半径和高，直接套 $pi rh$ 就行。
要是只知道底面周长和高，算起来就费事点，得先求半径。 有时候你会问，圆锥角那个东西，公式里没写？那个是圆锥角，不是几何里的圆锥。它是指从顶点到底面圆的两条半径夹出来的那个角。
这个角的大小，跟圆锥的高和底面半径相关，跟圆锥的体积没关系。勾股定理算出来的就是圆锥角，跟圆锥公式里的 $S$ 或 $V$ 没关系。别被这个概念绕晕了。 实际上啊，圆锥的公式就三条，就两个核心逻辑。一个是体积是底面积乘高除以三，这是最核心的那个体积公式。另一个是侧面积是底面周长乘高除以二，这是另一个核心逻辑。其他的，比如表面积，实际上就包含在体积和侧面积这两个里面了。顶点的存有，只是为了让圆锥从圆柱变出来。
要是那是圆，那就是圆柱。
要是那是平面的那个圆，那就是圆板。圆锥就是那个立起来、有个尖儿的东西。 最终，咱总结一下，圆锥这东西，体积公式是 $V = frac{1}{3}Sh$，侧面积是 $S_{侧} = pi rh$。计算的时候，$S$ 是底面圆面积，$h$ 是高，$r$ 是半径，$l$ 是母线。
记住，体积是三分之一，侧面积是周长乘高除以二。
这些数字，源头在哪儿？源头就是圆的面积和圆的周长。
只要理解了这两个基础，圆锥的公式也就清楚了。生活处处有圆锥，只要你会算，它就能帮你解决不少难题。别总想着死记硬背，多去看看生活中的圆锥，多去理解它是如何“长”出来的。
