说到扇形，大家脑子里浮现的可能是那种圆环的一局部，像卷起来的饼干要么切开的披萨。
实际上数学里的“扇形”范围更广，它不光指那个带弧度的几何图形，更涵盖了所有从圆心和圆周上一点连线围成的区域。
只要别闭着眼睛把它当成“圆环”要么“扇贝”就行，实际上本质就是圆减去两个小扇形。 实际上扇形体积的计算，跟圆柱体要么圆锥体有点像，但逻辑又彻底不同。想象一下，你有一块纯材质的蛋糕，想把它切成两半，一半是扇形，一半是另一半。
如果这个蛋糕是个完美的球体，切成半块就容易了，直接用 $frac{1}{2} times$ 体积就行。但如果是个圆柱体，那就要减去底面中间那个空白局部，得用“大体积”减去“空白扇形”的体积。 对于圆柱体或棱柱来说，底面是个圆，切出来的扇形体积占比实际上就是那个圆心角占圆周角比例的 $frac{1}{2}$ 再乘以 $frac{1}{2}$，也就是 $frac{1}{4}$。
故此，总体积就是 $frac{1}{4} times$ 底面积乘以高。 但如果是球体呢？这个好算多了。球体切成半圆的时候，体积就是 $frac{1}{2} times$ 球体体积。扇形切球体就像切半圆一样，直接就是 $frac{1}{2}$。 那如果是扇环呢？这可就略微有点意思了。扇环实际上是个圆环，两个端点都在圆上。
你想想，它能不能套在一个圆柱里？能，不过要注意它的边缘，扇环的宽（扇环的厚度）务必小于圆柱底面的半径。
如果宽比半径还大，那它就不能套进圆柱里，这种结构在几何里是不存有的。 扇环体积如何算？公式实际上就是大扇形体积减去小扇形体积。大扇形体积等于大半径对应的圆面积乘以高再除以 4，小扇形同理。算出来的差值就是扇环体积了。 举个例子，假设你要算一个圆锥体挖掉一半后的局部。设圆锥底面半径是 3，高是 6，那么底面积是 $18pi$。圆锥总体积是 $36pi$，一半就是 $18pi$。目前挖掉的局部是个扇环，它的圆心角是 $120^circ$。扇环的大半径是 3，小半径是 0（出便从圆心挖的）。大扇形体积是 $frac{120}{360} times frac{1}{4} times 18pi times 6 = 9pi$。小扇形体积是 0。
故此剩下局部的体积就是 $9pi$。 等等，这里有个小陷阱。
如果挖掉的局部确实是个扇环，且半径等于圆锥半径，那它实际上是个圆锥体。
这时候公式里的“高度”就不是原来的圆锥高度了，而是圆锥的高。 再举个例子，假设你有一根钢棒，形状是个圆柱，底面半径 10，高 50。你把它切成一个扇形，圆心角 $90^circ$。
这个扇形的体积是多少？底面积是 $pi times 10^2 = 100pi$。扇形体积就是 $frac{1}{4}$ 乘以 $100pi$ 再乘以 $50$，等于 $1250pi$。 要么反过来，假设你有一根圆柱，底面半径 10，高 50。你把它切成一个扇环，半径是 10，圆心角 $60^circ$。
这个扇环的厚度是多少？半径是 10，从圆心启动切，故此小半径是 0。大半径是 10。圆心角是 $60^circ$，也就是 $frac{1}{6}$ 个圆。
这个扇环体积等于 $frac{1}{6} times frac{1}{4} times (100pi) times 50 = frac{1250pi}{6}$。 实际上，扇环体积的通用公式能够写成 $V = frac{theta}{360} times frac{1}{4} times (pi r_1^2 + pi r_2^2) times h$。
这里的 $theta$ 是圆心角，$r_1$ 是大半径，$r_2$ 是小半径。
如果 $r_1$ 等于圆柱半径，$r_2$ 等于 0，那就变成了圆柱体积的 $frac{1}{2}$ 乘以 $frac{1}{2}$，也就是 $frac{1}{4}$ 乘以圆柱底面积。
这和刚才那个球体切扇形的公式挺像，都在用 $frac{1}{4}$。 刚才那个球体切扇形的例子，底面半径是 3，高是 6。扇形圆心角 $90^circ$。大半径 3，小半径 0。体积是 $frac{90}{360} times frac{1}{4} times (pi times 3^2 + pi times 0) times 6 = frac{1}{4} times 9pi times 6 = 13.5pi$。 可是，球体的表面积和这个扇形的底面不一样。扇形的底面是个圆，面积是 $pi r^2$ 要么 $pi r^2 cos alpha$（$alpha$ 是半角）。球体的表面积是 $4pi r^2$。球体切成半圆，切面是圆，面积是 $pi r^2$。球体切成扇形，切面也是圆，面积也是 $pi r^2$。
故此面积是一样的，但体积的计算逻辑不同。 扇形面积如何算？如果是圆柱切扇形，面积是 $frac{1}{4} times$ 圆面积。
如果是球切扇形，面积也是 $pi r^2$ 乘以 $frac{1}{2}$ 要么 $frac{1}{2}$ 乘以 $theta$。 最终总结一下，扇环体积的核心就是看它能不能套进圆柱里。
如果套进去，就用两个扇形面积相减再乘以高度除以 4。
如果不套进去，那它就不是标准的几何体，要么是由多个几何体拼凑出来的。 实际上生活中用扇形顶多的地方就是做披萨。披萨的半径一般是个数，比如 10 英寸。
如果你要做一个扇形蛋糕，半径是 10，圆心角是 $150^circ$。
那它的底面积就是 $frac{150}{360} times pi times 10^2 approx 130.89$ 平方英寸。再乘以厚度，就是体积了。 要么做排水池，就是挖个扇形坑。坑的半径是 5，深度是 2 米。底面积是 $25pi approx 78.5$ 平方米。体积就是 $78.5 times 2 approx 157$ 立方米。 总而言之，扇形体积计算的关键在于理解底面形状和高度关系。
不管是圆柱还是球，只要知晓圆心角能不能套进圆柱，就能找到对应的公式：要么直接算扇形面积再乘高度除以 4，要么算大扇形体积减去小扇形体积。
这就是扇形体积如何算的。
